大学受験数学 図形の質問です。

質問

数学 Oを原点とするxy-座標平面において

点A(2,0),B(-4,0)をとり、さらに∠OPA＝45°を満たすP(y座標が第一象限)をとる。
(1) △ABPの面積が最大となるときのPの座標を求めよ
(2)BPが最大となるときのPの座標を求めよ
(3)∠ABP＝θ(0≦θ≦π)が最大となるときのPの座標を求めよ。
宜しくお願いします。

回答No.2

yyssaa

円周角の定理からPの軌跡はOAを弦とする円になる。
y軸上の点(0,2)を点Qとすると、∠AQO=45°であるから、
この円は点Qを通る。さらに∠AOQ=90°からAQがこの円の
直径となるので円の中心は(1,1)となり、この円は
(x-1)^2+(y-1)^2=(AQ/2)^2=(√2)^2=2で表せる。
(1)△ABPの面積が最大となるときのPの座標
AB一定、よって△ABPの面積が最大となるのはPがx軸から
もっとも離れたとき、すなわちx=1、(y-1)^2=2　から
y=1+√2、よって答えは(1,1+√2)となる。
(2)BPが最大となるときのPの座標
上記の円の中心をR(1,1)とすると、BPが最大となるときは
BRとRPのなす角度が最大になるとき、すなわちBRの延長線上に
Pがあるときであり、P(x,y)としてRPの傾斜(y-1)/(x-1)
=BRの傾斜1/5、すなわちx=5y-4が成り立つときである。
この関係を(x-1)^2+(y-1)^2=2に代入してx=1±5/√13、
y=1±1/√13が得られるが、x＞1が明らかなので、
答えは(1+5/√13,1+1/√13)となる。
(3)∠ABP＝θ(0≦θ≦π)が最大となるときのPの座標
∠ABP＝θ(0≦θ≦π)が最大となるときはBPが円に接するとき
であり、P(x,y)としてPでの接線の傾斜を求めると、
(x-1)^2+(y-1)^2=2の両辺をxで微分して
2(x-1)+2(y-1)dy/dx=0からdy/dx=(1-x)/(y-1)となるので、
これをBPの傾斜y/(4+x)と等しいとして、
y(y-1)=(1-x)(4+x)整理して
y^2-y=-x^2-3x+4
x^2+y^2=y-3x+4・・・(ア)
(x-1)^2+(y-1)^2=2からx^2-2x+1+y^2-2y+1=2、整理して
x^2+y^2=2x+2y・・・(イ)
(ア)(イ)よりy-3x+4=2x+2y　→　y=4-5x・・・(ウ)
(ウ)を(イ)に代入してx^2+(4-5x)^2=2(x+4-5x)
x^2+25x^2-40x+16=-8x+8　→　26x^2-32x+8=0
　→　13x^2-16x+4=0　→　x=(16±√(16^2-4*13*4))/26
=(16±4√(16-13))/26=(8±2√3)/13
これを(ウ)に代入してy=4-5*(8±2√3)/13
=(52-40-(±10√3))/13=(12-(±10√3))/13
y＞0が明らかなので、
y=(12+10√3)/13、x=(8-2√3)/13
答えは((8-2√3)/13,(12+10√3)/13)となる。

回答No.1

151A48

方針だけ・・・
PはＯＡを見こむ角が４５°の円周上にあります。Ｃ（１，１）を中心とし，半径√２の円です。
図を正確にかいてみれば分かると思いますが，
（１）はＰのｙ座標最大のとき（てっぺんにきたとき）
（２）はＢＣが円と交わる遠い方の点にきたとき。
（３）はＢを通る直線が円と接する点に来たとき。ｙ座標正の方。

（２），（３）は少々計算が必要です。