数学教えてください！

質問

数学教えてください！

半径aの円Ｏの周上に動点Ｐと定点Ａがある。Ａにおける接線上に ＡＱ＝ＡＰ であるような点Ｑを直線ＯＡに関してＰと同じ側にとる。ＰがＡに限りなく近づくとき、ＰＱ／ＡＰ^2(弧)の極限値を求めよ。

解答を見ると、
θ＝∠ＡＯＰ 0＜θ＜π とおくと
ＡＰ＝2a×sin(θ/2)
ＡＰ(弧)＝aθ
また、接線と弦の作る角の性質から
∠ＰＡＱ＝ＡＰ(弧)の円周角＝θ/2
△ＡＰＱは二等辺三角形であるから
ＰＱ＝2ＡＰsin(θ/4)＝4a×sin(θ/2)sin(θ/4)

ＰがＡに限りなく近づくとき、θ→+0 であるから、求める極限値は…

となっていて、極限値を求めるのはわかるんですけど、何故ＡＰ＝2a×sin(θ/2)になるのかと、“△ＡＰＱが二等辺三角形であるから”ＰＱ＝2ＡＰsin(θ/4)となる理由がわかりません。
わかりやすく説明してください！

回答No.4

goomachan · ベストアンサー

せっかく図が出ているので、先の回答さんの図を見てもらって、

θ＝∠ＡＯＰ 0＜θ＜π とおくと 円周角の定理より　∠ARP=θ/2
ここで、△APR において、正弦定理を使うと
　AP / sin(θ/2)=2a　,
だから、　AP ＝ 2a×sin(θ/2)
ＡＰ(弧)＝aθ　　← （半径）×（中心角）
また、接線と弦の作る角の性質から（接弦定理）
∠ＰＡＱ＝∠ARP ＝ θ/2
△ＡＰＱは二等辺三角形であるから
頂角A から底辺PQ に対し、垂線を下ろし、その足をH とすると、
その垂線は頂角A の角の２等分線であり、AH は底辺PQ を垂直２等分する。

△APH （直角三角形）において、　∠PAH = θ/4
　sin∠PAH = sin(θ/4)= PH / AP {　三角比　（高さ）／（斜辺） }
PH = AP ×　sin (θ/4)
ここで、PQ = 2 × PH = 2×{ AP ×　sin (θ/4) }
だから、PQ = 2 AP sin (θ/4) となる。
よって、 　PQ = 2× { 2a×sin(θ/2)} ×　sin (θ/4)　
　　　　　※注　２倍角　 sin(θ/2)= sin {2×(θ/4)}= 2× sin(θ/4)× cos(θ/4)
= 2 × 2a × { 2×sin(θ/4)× cos(θ/4)} ×　sin (θ/4)
= 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4)
質問の中の極限値について、
　　分母の(AP)^2 = ( aθ )^2 =a^2 × θ^2
分子の PQ = 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4)
PQ / (AP)^2
= { ( 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4) ) } / {a^2 × θ^2 }
= { 8a × cos(θ/4) × { sin(θ/4)}^2 } / { a^2 × (θ/4)^2 × (4^2) }
= { ( 8a × cos(θ/4) )/ ( a^2 × 16 ) } × { { sin(θ/4)}^2 / (θ/4)^2 }
ここで、θ → +0 極限をとると
cos(θ/4) → 1 , { sin(θ/4)}^2 / (θ/4)^2 } → 1
※２注　θ → 0　のとき、　{ sinθ　/ θ } → 1 を利用。

= { ( 8a × 1 ) / ( 16 × a^2 ) } × 1
=1 / (2a) となる。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます！
理解できました！

回答No.3

goomachan

質問者さんへ！
すみません！！極限値の答えはいくつでしたか？
のせてくれたら、質問に答えます！！！
ちょっと気になったんで…

補足

解答は1/2aでした

回答No.2

banakona

接弦定理は覚えていますか？

中学３年くらいで習うと思いますが、下図で∠ＡＲＰ＝∠ＱＡＰとなる　というのがソレです。
（∠ＡＲＰは弧ＡＰの円周角ならどこにあってもかまいません。）

∠ＡＲＰは円周角なので、∠ＱＡＰはθの半分となり、ＰＱ＝2ＡＰsin(θ/4)となります。

お礼

わかりました！
ありがとうございます！

回答No.1

spring135

>何故ＡＰ＝2a×sin(θ/2)になるのか
△AOPはAO=PO=aの二等辺三角形で頂角∠AOP＝θあるからです。Oから底辺APに
垂線を下してみれば解ります。

>△ＡＰＱが二等辺三角形であるから”ＰＱ＝2ＡＰsin(θ/4)となる理由
△APQはＡＱ＝ＡＰになるように最初に定めています。
最初の質問にあったようにＡＰ＝2a×sin(θ/2)＝AQです。
＞また、接線と弦の作る角の性質から
　∠ＰＡＱ＝ＡＰ(弧)の円周角＝θ/2　　(1)
よって頂角∠ＰＡＱ＝θ/2です。
従って頂角∠ＰＡＱ＝θ/2、等辺＝ＡＰ＝2a×sin(θ/2)の三角形の底辺として
ＰＱ＝2ＡＰsin(θ/4)が求められます。
これはAからPQに垂線を下してみれば解ります。
(1)は解りますか。接線と円周角の関係として重要な関係なので
教科書、参考書等で確認しておいてください。

お礼

やっと理解できました
ありがとうございました！