2項定理

質問

タグを使わないで数式をあらわすやり方を知らないので、タグを使わせていただきます。わかりずらくなるかもしれませんが、ご了承ください。

(1＋x＋x²)ⁿの展開式におけるk^xの係数をa_kとするとき、
a₀＋a₂＋a₄＋・・・＋a_2n＝1/2(1＋3ⁿ)
であることを示しなさい。
で、解説に(1＋x＋x²)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋・・・＋a_2nx²ⁿとなるので・・・・・
と書いてありました、なぜでしょうか？教えていただけないでしょうか？

回答No.3

noname#24477 · ベストアンサー

(1+x+x^2)^n=(a_0)x^0+(a_1)x^1+・・・・+(a_2n)x^2n
とするとき
a_0+a_2+・・・・(a_2n)＝
偶数番目の係数だけを足す

という問題だと思うのですが

x=1を代入して、今度はx=-1を代入して・・・・
ムニョムニョ・・・・

補足

返信ありがとうございました。
＞No1さん
その通りです、スミマセンでした。
＞No.3さん
どういうことですか？？

回答No.8

age_momo

#5,6です。
(1+x+x^2)^nを展開した時、xについての最低次数は
1^n=1(=x^0) でa_0=1　ですよね。また、最高次数は
(x^2)^n=x^2n でa_2n=1ですから
(1+x+x^2)^n=a_0*x^0+a_1*x^1+・・・+a_2n*x^2n
と表せるのは明らかだと思うのですが。
また、1<p<2nの整数pにおいて
(1+x+x^2)^nを展開した時にa_p*x^pの項が無いかも知れないのが心配でしょうか？
でも、無くても何の問題も無いですよね。(本当はすべてありますが）
a_p=0というだけのことです。
#3さんは
＞偶数番目の係数だけを足す
と書いておられますが正確には奇数項係数だけを展開式から消して、偶数項係数を残すという事で、それが問題の求めるところですよね。

お礼

みなさん返信していただけるのはありがたいのですが、全然わからなくなってきました・・・・・
申し訳ないのですが、締め切らせていただきます、皆さん協力ありがとうございました、自分の力が足りず無念。。

回答No.7

kyotowim

(1＋x＋x²)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋・・・＋a_2nx²ⁿとなる

ことがわからないのですか？それが質問なら
「それはa_kの定義だから」というのが妥当な回答です。
定義可能かどうか、という質問かもしれません。
a_kが一意的に定まると示したいのでしょうか？b_kというあらわし方もあったとして、云々、で一意性も示せそうでしょう、恐らく。

回答No.6

age_momo

やむをえないんで。。。

(1+x+x^2)^n=(a_0)x^0+(a_1)x^1+・・・・+(a_2n)x^2n
x=1を代入すると
(1+1+1^2)^n=3^n
=(a_0)+(a_1)+(a_2)+(a_3)・・・・+(a_2n)　・・・(1)
(1-1+1)^n=1^n
=1
=(a_0)-(a_1)+(a_2)-(a_3)・・・・+(a_2n)　・・・(2)
(1)+(2)をすると
3^n+1=2(a_0+a_2・・・+a_2n)
a_0+a_2・・・+a_2n=1/2(3^n+1)

ですね。

補足

何度もいってるように、ソコはわかってます・・・
＞(1+x+x^2)^n=(a_0)x^0+(a_1)x^1+・・・・+(a_2n)x^2n
になぜなるのかわからないのです。

回答No.5

age_momo

横から失礼します。一応、フォローしておきます。
＞＞No.3さん
＞どういうことですか？？
そのままですよ。
(1+x+x^2)^n=(a_0)x^0+(a_1)x^1+・・・・+(a_2n)x^2n

上の式へ実際にx=1とx=-1を代入して、その二つの式を良く見比べてみて下さい。簡単に求める式に誘導できますよ。

ヒント：(-1)^2k=1　(-1)^(2k+1)=-1

補足

ソコじゃないです・・・・・
＞(1+x+x^2)^n=(a_0)x^0+(a_1)x^1+・・・・+(a_2n)x^2n
とするとき
a_0+a_2+・・・・(a_2n)＝
偶数番目の係数だけを足す
ここがわかりません。

回答No.4

dyna43

ojamanboさん、さすがです。
片々足してってやつですね。

すっきりしました。ありがとうございます。

回答No.2

dyna43

「展開式におけるk^xの係数をa_kとするとき」
とあるので、それをそのまま適用して、(1+x+x^2)^nを書き下すと、
「(1＋x＋x²)ⁿ＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋・・・＋a_2nx²ⁿ」
になるのでしょう。

２項定理を、(1 +(x+x^2) )^nでまず適用し、(x+x^2)でもう一度適用すると、
(1+x+x^2)^n=(x+x^2)^n+nC1(x+x^2)^n-1+nC2(x+x^2)^n-2+・・・={x^2n ΣnCr}+{x^2n-1 ΣnCr}+・・・

ただ、そこから先が難しいですね...(^^;)
数学的帰納法用いるのでしょうか...？

役に立たなくてごめんなさい。

回答No.1

dyna43

・・・展開式におけるk^xの係数を・・・

の文章で、
k^xではなくx^kではありませんか？