二項定理

質問

次の展開式において、〔　〕内の項の係数を求めよ。
（１）（x*2-2x+3)*6 〔x*4〕 (2) (1+x*2+x*4)*10 〔x*4〕
答え；（１）9855（２）210　←解法を教えてください。

回答No.2

FT56F001

[1] (x^2-2x+3)^6=(3+(x^2-2x))^6
=6C0*3^6 + 6C1*3^5*(x^2-2x) + 6C2*3^4*(x^2-2x)^2+6C3*3^3*(x^2-2x)^3
+6C4*3^2*(x^2-2x)^4+6C5*3^1*(x^2-2x)^5+・・・
(x^2-2x)^5以降はx^5以上になるのでx^4の項は出てこない。
(x^2-2x)^1の項もx^4は出てこない。
x^4が出てくるのは，
6C2*3^4*(x^2-2x)^2+6C3*3^3*(x^2-2x)^3+6C4*3^2*(x^2-2x)^4
だけで，
6C2 *3^4 x^4 + 6C3*3^3*3*x^2*(2x)^2 + 6C4*3^2*(2x)^4
の部分だけ。
よって，
6*5/2*81 + 6*5*4/3/2*27*3*4 + 6*5*4*3/4/3/2*9*16
=1215+6480+2160=9855
となる。

微分を使ってよければ，
f=(x^2-2x+3)^6
f'(x)=6(x^2-2x+3)^5*(2x-2)
f''(x)=30(x^2-2x+3)^4*(2x-2)^2 + 6(x^2-2x+3)^5*2
f'''(x)=120(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^3+30(x^2-2x+3)^4*4*(2x-2)+60(x^2-2x+3)^4*(2x-2)
=120(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^3+180(x^2-2x+3)^4*(2x-2)
f''''(x)=360(x^2-2x+3)^2*(2x-2)^4+120(x^2-2x+3)^3*3*2*(2x-2)^2+720(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^2+180(x^2-2x+3)^4*2
=360(x^2-2x+3)^2*(2x-2)^4+ 1440(x^2-2x+3)^3*(2x-2)^2+360(x^2-2x+3)^4
f''''(0)=360*3^2*2^4 + 1440*3^3*2^2+360*3^4
=51840+155520+29160=236520
よってf(x)のテイラー展開のx^4の項は236520/4!x^4=9855x^4となる。

[2]
(1+(x^2+x^4))^10 = 10C0 * 1 + 10C1 *(x^2+x^4) + 10C2*(x^2+x^4)^2+10C3(x^2+x^4)^3・・・・
(x^2+x^4)^3以降はx^6以上になるので，x^4は出てこない。
よってx^4の係数は 10C1 + 10C2=10+45=55

回答No.1

info22_

お書きの記号「*」(アスタリスク)は掛け算記号です。
べき乗記号（指数部を示す記号）は「＾」です。この記号は、JISでは「アクサンシルコンフレックス」、正式には「キャロット」「カレット」などと読みます。パソコンのキーでは「へ」の左側にある記号です。半角英数字で「へ」のキーで入力できます。

(1）（x^2-2x+3)^6 〔x^4〕
x^4になる項の組み合わせの係数を足し合わせればいいでしょう。
　x^2の項を２つ、定数項3を４つ
　x^2の項を１つ、-2xの項を２つ、定数項3を３つ
　-2xの項を４つ、定数項3を２つ
で全部ですから、係数の合計は
　6C2*(4C4*3^4)+6C1*(5C2*(-2)^2)*(3C3*3^3)+(6C4*(-2)^4)*(2C2*3^2)
＝1215+6480+2160=9855

(2) (1+x^2+x^4)^10 〔x^4〕
x^4になる項の組み合わせの係数を足し合わせればいいでしょう。
　x^4の項を1つ、定数項1を9つ
　x^2の項を2つ、定数項1を8つ
で全部ですから、係数の合計は
　10C1*9C9+10C2*8C8
＝10+45=55

したがって
>（２）210
これは間違いと思うよ。確認下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86