二項定理

質問

もうすぐテストがあるのですが、わからず困ってます。

　次の展開式において［　］内の項の係数を求めよ。

　　　　　　(x^3－x)^5　　　［x^9］
　解説をみると、
(与式)=x^5(x^2-1)^5、(x^2-1)のx^4の項は　
　　5C3(x^2)^2(-1)^3　よってx^9の項の係数は-10

どこからx^5(x^3－x)^5、(x^2-1)がでてくるのかがわかりません。
またなぜx^9の係数を求めよなのに”x^4の項は”となるのですか。
よろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

(x^3－x)^5＝{x(x^2-1)}^5=x^5(x^2-1)^5　　[←x^5×(整式)]
[∵(XY)^n=X^n・Y^n]
よって展開式のx^9の項は　x^5×{(x^2-1)^5の展開項のうち4次の項}
なので，以下
(x^2-1)^5＝{(x^2)+(-1)}^5
を２項定理で展開してx^4の項は(x^2)を5回中２回選んだときなので
5C2(x^2)^2(-1)^3=．．．
解答は(-1)を３回で5C3のようですが，上の方が良い気がします．
結局値は同じですが．

お礼

ありがとうございました。早速、問題をやり直したところ答えがちゃんとでました。とてもわかりやすかったです。

回答No.2

fushigichan

こんにちは。x^4が何故でてくるのか、ですよね。

(x^3-x)^5={x(x^2-1)}^5
=x^5(x^2-1)^5
となるのは分かりますか？（x^3-x)のなかのＸだけをくくりだしてるんですね。
するとx^5が前に出てきますから、今知りたいx^9の係数を求めるには
後半の(x^2-1)^5のなかのx^4の係数を調べればいいことになります。
最初の式を、Ｘだけを外に出して計算しやすく変形してるんですね。
そこが分かればできると思いますよ。がんばって！！

お礼

ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。このような問題がテストに出ても安心です。