二項定理の応用

質問

お早う御座います。

問題集で、解答に載っていた説明に疑問を持ったため質問することにしました。
宜敷御願い致します。

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[前提]
この質問には組合せ記号が出てきます。使い方は以下の通り
C[n.r] = nCr

[設問]
(1+x)^n(1+x)=(1+x)^n+1において、x^r+1の係数を比べて等式C[n.r] + C[n.r+1] = C[n+1.r+1]が成り立つことを証明せよ。

[解答]
(1+x)^n = C[n.0] + C[n.1]x + C[n.2]x^2 +....C[n.r]x^r + C[n.r+1]x^r+1 + ..... + C[n.n]x^n

故に、(1+x)^n(1+x)の展開式におけるx^r+1の係数は
C[n.r] + C[n.r+1]

一方、(1+x)^n+1の展開式におけるx^r+1の係数はC[n+1.r+1]であり、
ここで(1+x)^n(1+x)=(1+x)^n+1であるから、両辺の展開式における
x^r+1の係数は等しい。
故にC[n.r] + C[n.r+1] = C[n+1.r+1]

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こうなっていました。

解答の一行目の式で、(1+x)^nの係数がC[n.r+1]x^r+1を通って、最終的にC[n.n]x^nに到達することは理解できるのですが、
「C[n.r] + C[n.r+1]」が「(1+x)^n(1+x)」の係数を表現しているとはとても思えないのです。なぜなら既にn乗として閉じ
ている(1+x)という式に、もう一つ同じ(1+x)という式を追加すると、その時点でn＜rになり、組合せ記号を使って係数を表
現する時に不具合が起こると思うからです。

ですから、(1+x)^n(1+x)の係数は次のように表現されるべきなのではないのですか。
C[n.0] + C[n.1]x + C[n.2]x^2 +....+ C[n.n]x^n + C[n+1.r+1]x^r+1 + ..... + C[n+1.n+1]x^n+1

しかしながらこれでは設問の等式とは釣り合わず・・・。

(1+x)^n(1+x)の展開式におけるx^r+1の係数はなぜC[n.r] + C[n.r+1]になるのですか。

宜敷御願い致します。

回答No.3

kkkk2222

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www
正直に申しますと、＃２の冒頭で
＞＞目が痛くなり貴殿の思考過程はよみとれませんでした。とお茶を濁しましたが、実は、質問文の中の貴殿の思考過程を、かなり吟味したのですが　ＧＩＶＥ　ＵＰ　したのです。回答する際、回答者の思考のみを記述したのでは、質問者様の疑問に返答した事にならず、回答としては、不完全（場合によっては意味のない）となる事は承知の上で、これで＜納得してないもらえないかな＞、と勝手な投稿をしてしまいました。
＃１質問者様の疑問に直接の返答せずに、了承してもらえる場合と
＃２完全にスレチガイのＮＥＴ会話になる場合があります。
貴殿の疑問は深そうなので、＃２となる懸念はしておりました。また、極々最近＃２を経験をしており・・・
されど、補足要請が届いた以上、黙する分けにも行かず、再び＃２となる可能性も高く、無礼に無礼を重ねるやも知れず困り果てているのが、現状です。何日か後に、＜貴殿の疑問＞が判明する場合もありますが・・・
何事にも完全はありえず、当方の＜読み違え＞最悪＜誤回答である＞可能性も残っています。
以下、最悪の結果となる事も覚悟の上で投稿いたします。ＮＥＴ会話の性質上、礼を失する投稿やもしれず前もって了承されたい。思考しつつＫＥＹを打つので文体も変化致します。丁寧体は思考の妨げになりますので。
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＞＞ここは下のようになりませんか。
(・・・+C[n.r]x^r + C[n.r+1]x^r+1 +・・・ + C[n.n]x^n)
ここで、貴殿が最終項C[n.n]x^nに何故こだわるのか、理解できない。最終項はこの議論に直接関係はない。当然ながら＃１様の指摘＜問題のどこかに「但し、0≦r≦n-1」という記述がないでしょうか。＞は＜条件があると判断し＞回答に際し、触れなかった。
＞＞C[n.n]x^nの後にもう一つ(1+x)をかけるから左辺はC[n+1.r+1]x^r+1になる・・・。
何故、左辺はC[n+1.r+1]x^r+1になるのか理解できない。(1+x)を掛けても係数には影響は与えず、係数は変化しない。どう考えても、貴殿の＜錯覚＞としか思えない。ＳＩＭＰＬＥな形で表記してみる。
ＴＡＲＧＥＴはx^（r+1）の項
【１＋ｘ＾２＋ｘ＾３＋ｘ＾４＋ｘ＾５＋ｘ＾６】
＊【１＋ｘ】
ここでＴＡＲＧＥＴをｘ＾４の項とする。即　ｒ＝３、ｒ＋１＝４　、展開して　ｘ＾４　となるのは　１＊ｘ＾４　と　ｘ＊ｘ＾３　のみで他は考えられない。ここで、奇妙な事にきずく。これは左辺ではなく右辺の話なのか。左辺か右辺か不明になっている。右辺ならば、(1+x)^（n+1）であり、x^（r+1）の係数は（n+1）個から（r+1）個取っただけなので係数がC[n+1.r+1]である事は論をまたず。
＞＞あと、その下の
＞＞この（ｎ＋１）項かける２項の中でｘの次数がｒ＋１になるのは
＞＞１＊C[n.r+1]x^r+1
＞＞ｘ＊C[n.r]x^r　　　　の二通りのみ
＞＞x^r+1の係数は　C[n.r+1]＋C[n.r]
＞＞・・・、どの部分から「次数がr+1になるのは」という条件が発生するのですか。
＜条件＞なる用語の使用が不明。
核心は、既に述べた。単なる計算結果にすぎず。
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次に質問文の内容を再吟味する。
＞＞・・・がC[n.r+1]x^r+1を通って、最終的にC[n.n]x^nに到達・・・
＜を通って＞なる表現が理解できない。されど議論には関係ない部分・・・
＞＞なぜなら既にn乗として閉じている(1+x)という式に、
＜閉じている＞なる表現が不可解。
＞＞もう一つ同じ(1+x)という式を追加すると、
＜追加＞は＜乗ずる＞の意味と解釈。
＞＞その時点でn＜rになり、組合せ記号を使って係数を表・・・
n＜r　になる可能性はあるが、本当に前述した＜0≦r≦n-1＞なる条件はないのか。たとえ無くとも、本質には無関係。
＞＞・・・(1+x)^n(1+x)の係数は・・・C[n.0] + C[n.1]x + C[n.2]x^2 +....+ C[n.n]x^n + C[n+1.r+1]x^r+1 + ..... + C[n+1.n+1]x^n+1
この式は解読できず。
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ここまで再検証いたしましたが、同じ議論の繰り返しで、当方も何を書いてるのかさへ、分からなくなってしまいました。この再回答では、貴殿の不満は目に見えますが、どうしようもなく、締めざるを得ません。何日か後に、＜貴殿の疑問＞が判明しましたら、再々投稿をさせて頂きます。
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回答No.2

kkkk2222

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目が痛くなり貴殿の思考過程はよみとれませんでした。通常は此の式は
＃１　パスカルの三角形（これは証明ではないが）
＃２　計算
＃３　巧みな解法

今回の証明は初めてみましたが、上手いと感じました。
要点のみ書きます。
（(1+x)^n）(1+x)=(1+x)^n+1

左辺の意味
　（・・・・＋C[n.r]x^r ＋ C[n.r+1]x^r+1 ＋・・・・）
かける　（１＋ｘ）　

この（ｎ＋１）項かける２項の中でｘの次数がｒ＋１になるのは
１＊C[n.r+1]x^r+1
ｘ＊C[n.r]x^r　　　　の二通りのみ
x^r+1の係数は　C[n.r+1]＋C[n.r]

右辺の展開でx^r+1の係数は C[n+1.r+1]

よって　C[n.r+1]＋C[n.r]＝C[n+1.r+1]
上手い解法ですね。

ＳＥＥ　ＹＯＵ
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補足

有難う御座います。

kkkk2222さんにお答えいただいた中に、正に私が疑問に思っていたところがあるのです。

>>左辺の意味
>>（・・・・＋C[n.r]x^r ＋ C[n.r+1]x^r+1 ＋・・・・）
>>かける　（１＋ｘ）

ここは下のようになりませんか。
(・・・+C[n.r]x^r + C[n.r+1]x^r+1 +・・・ + C[n.n]x^n)
かける(1+x)

C[n.n]x^nの後にもう一つ(1+x)をかけるから左辺はC[n+1.r+1]x^r+1になる・・・。

あと、その下の
>>この（ｎ＋１）項かける２項の中でｘの次数がｒ＋１になるのは
>>１＊C[n.r+1]x^r+1
>>ｘ＊C[n.r]x^r　　　　の二通りのみ
>>x^r+1の係数は　C[n.r+1]＋C[n.r]

この部分についてですが、どの部分から「次数がr+1になるのは」という
条件が発生するのですか。

宜敷御願い致します

回答No.1

mgsinx

問題のどこかに「但し、0≦r≦n-1」という記述がないでしょうか。
もしあれば、次の過程で係数が求められます。
(1+x)^n(1+x)
=x(1+x)^n+(1+x)^n
=x(C[n,0]+C[n,1]x+C[n,2]x^2+…+C[n,n]x^n) + C[n,0]+C[n,1]x+C[n,2]x^2+…+C[n,n]x^n
=C[n,0]x+C[n,1]x^2+C[n,2]x^3+…+C[n,n]x^(n+1) + C[n,0]+C[n,1]x+C[n,2]x^2+…+C[n,n]x^n
=C[n,0]+(C[n,0]+C[n,1])x+(C[n,1]+C[n,2])x^2+…+(C[n,n-1]+C[n,n])x^n+C[n,n]x^(n+1)

0≦r≦n-1(つまり1≦r+1≦n)より、注目するのはx～x^nの項の係数のみで、x^0とx^n+1の係数は無視しても良いと言うことになります。

「但し、0≦r≦n-1」という記述が無かったら、完全に出題ミスです。
別の方法による証明でも必ず0≦r≦n-1という条件は必須です。