二項定理の問題です

質問

（x＋5）80乗を展開したとき、xの何乗の係数が最大になるか答えよ。です。答えは13乗ですが、解説がないためわかりません。どなたか教えて下さい

回答No.3

noname#232123

(x+5)^80=Σ[r=0 to 80]combi(80, r)*x^r*5^(80-r). （combi(n, r)は組み合わせの数です）
展開式のx^rの係数をa[r]とおくと、
a[r]=combi(80, r)*5^(80-r), (r=0, 1, 2, ..., 80) で、r>0 のとき、
a[r]/a[r-1]を考えます。
a[r]/a[r-1]=(81-r)/(5r)
ですからこれが１より大きくなるようなｒの範囲をもとめると、
(81-r)/5r>1 より、r<27/2, すなわち、
a[0]<a[1]<a[2]<...<a[13], a[14]>a[15]>.., となっています。
よって、a[13]が最大です。

お礼

ご丁寧なご回答ありがとうございます。解説をみながら自分で書きながら解いてみますね。感謝いたします。

回答No.2

info222_

x^nの係数A(n)は
A(n)=80Cn*5^(80-n)={80!/(n!(80-n)!}*{5^(80-n)}
(0≦n≦80), A(n)≧1

A(n)の項B(n)={80!/(n!(80-n)!}(0≦n≦80)は
0≦n≦40のときnの単調増加関数
40≦n≦80のときnの単調減少関数
n=40で最大となり、最大値=80!/(40!)^2
B(n)=B(80-n) (0≦n≦40),
B(n)≧1 (0≦n≦80)
また
A(n)の項C(n)={5^(80-n)}(0≦n≦80)はnの単調減少関数

したがってA(n)は0<n<40で最大値をとることがわかる。
n=mでA(n)が最大となるとすると
A(n)は0<n≦mでnの単調増加関数
A(n)はm≦n<40でnの単調減少関数
すなわち、A(n)が増加から減少に転じるときのnを見つければそれがmとなります。

A(n-1)/A(n)={80!/((n-1)!(80-(n-1))!}{5^(80-(n-1))}/[{80!/(n!(80-n)!}{5^(80-n)}]
=(n/(81-n))*5≦1
5n≦81-n
6n≦81, n≦81/6=13.5 ∴n≦13
∴m=13
(答) xの13乗の係数が最大になる。

[検算] xの13乗(n=m=13)のところで係数が最大になることの検算
xの12乗の係数:80C12*5^(80-12)=(5^68)*80!/(12!68!)=Max*(65/68)
(=20412356673746290518928203638893137394916266202926635742187500)
<Max

xの13乗の係数:80C13*5^(80-13)=(5^67)*80!/(13!67!)=Max
(=21354465443303811619801813037611282197758555412292480468750000)

xの14乗の係数:80C14*5^(80-14)=(5^66)*80!/(14!66!)=Max*(67/70)
(=20439274067162219693238878193142227246426045894622802734375000)
<Max

お礼

ご回答ありがとうございます。書いて下さった解説をみながら、解いてみますね。とても丁寧なご回答感謝いたします。

回答No.1

naniwacchi

二項定理の問題とわかっているのですから、それを使うことはいいですよね。
とすると、x^k（k=0,1,2,3...,80）の係数はどのように与えられますか？
まずは、そこからです。

たとえば、(x+1)^80の係数が最大となるのは、
降べきの順に書いて「真ん中あたり」の項になるはずです。
そのとき、係数の値はどんどん大きくなって、最大になった後はどんどん小さくなっていきます。この係数の変化の様子がポイントです。
いまの問題は、定数項が「5」になっている分だけ、真ん中からズレることになるのです。

あと、係数はすべて正の数です。「となりの項」と「比較」をしていけば、
「どんどん大きくなって」と「どんどん小さくなって」の境界がわかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。参考にさせていただき考えてみます。感謝致します