不動点

質問

ｆを複素平面における単位開円板D上解析的で境界まで含めて連続とします。更にｆはD上|f(z)|<1 とします。このとき閉円板上のｆの不動点について解析的に何か言えるでしょうか。不動点の存在はｆが連続でありさえすればトポロジー的に示される事はよく知られていると思いますが解析的に示すことは可能でしょうか？

回答No.3

grothendieck

f(z)が領域の内部で解析的とすると
　f(z) = z sin(1/z)　(z≠0のとき)
　f(0) = 0
とするとf(z)はz=0を除いて解析的、z=0を含めて連続で零点の集積点を持ちます。
　Lefschetzの不動点定理とheat kernel expantionは

　P.B.Gilkey; Invariance Theory, the Heat kernal Equation and the Atiyah Singer Index Theorem, (CRC Press)
が良いでしょう。下記URLからdownloadすることもできます。

参考URL：

http://emis.kaist.ac.kr/ELibM.html

回答No.2

grothendieck

aをf(z)の不動点とするとaはf(z)-zの零点になります。解析関数の零点は孤立点なので、f(z)を円板の境界上も含めて解析的とすると不動点を無数に持つような解析関数は恒等写像しかないと思います。
　Lefschetzの不動点定理はheat kernel expantionで証明できます。

補足

回答ありがとうございます。確かにｆが回答にある仮定を満たしていれば恒等写像に限るのはすぐわかります。更に、ｆが境界を含めて解析的なら、Roucheの定理を｛kf(z),-z｝（k↑1）の組に単位円上で用いて閉円板のコンパクト性から簡単に閉円板における不動点の存在を示すことができますが質問したところのｆは単に内部で解析的、境界で連続であるとしてます。この場合は何か解析的に言えるでしょうか？それとHeat Kernel Expantionの詳細が分かるページはありますか？もしありましたら参考URLお願いします。

回答No.1

yumisamisiidesu

うろ覚えの知識しかないので申し訳ありませんが
不動点定理の証明は、∃z;f(z)=0の範囲を狭めていくような感じだったと思います
(中間値の定理もそんな感じだったと思うので、
　中間値の定理の高次元バージョン　といった感じ)
これを位相的証明の仕方と考えると
解析的な証明とはどういったことなのでしょうかと思います。たとえば、テーラー展開やローラン展開を解くにしても、それらも元々は中間値の定理から示されている事柄なので、どうなんでしょうかと思います
　そもそも解析学がトポロジーの上にあるようなものだから、解析学の基本的な性質は、どうしてもトポロジーの性質で説明するようになっているかもしれないと思います

でもリュウビルの定理はローラン展開から説明していたような気もするので、解析的方法といえる方法はあるかもしれませんが、どの道、大元を辿るとトポロジーの性質だと思います

補足

回答ありがとうございます。解析的という意味は確かにはっきりと定義しにくいですが、ここではとりあえず複素関数論の初等的定理、公式から不動点の存在あるいはその個数の評価などを与えることは可能かどうか考えていました。ちなみにｆの正則性は不動点の存在以外に影響を与えるでしょうか？不動点の個数が無限個の正則関数ｆの例は簡単に見つかりますか？