複素平面における解の個数

質問

F(z)=z^7 - 5z^4 + z^2 - 2 = 0

の複素平面上における単位円|z|=2　の内部の解の個数を求めようとしています。似たような問題もなく困っています。

解の個数なので、グラフを書いてみたら解けると思い
Ｆ（ｚ）を微分してみました。すると、
F(z)'=7z^6 - 20z^3 + 2z
=z(7z^5 - 20z^2 + 2)
となり、ｚにいろいろな値をいれて、ゼロになるか試したのですが
どうしたらいいかわからなくなり固まってしまいました。

解き方がまずまちがってるのでしょうか？
もしわかる方がいたらお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

数値計算でF(z)=0の解を強引に求めると下記のように
計算できました。
方法はF(x+iy)=f(x,y)+i g(x,y)=0
からf(x,y)=g(x,y)=0の連立方程式の実数解を
数値計算で求めました。
z≒1.6977813
z≒0.58742519+i 0.5226834
z≒0.58742519-i 0.5226834
z≒-0.6224158+i 0.5037713
z≒-0.6224158-i 0.5037713
z≒-0.8139000+i 1.5195888
z≒-0.8139000-i 1.5195888
以上の7個の複素解（内1個だけ実数解）です。

お礼

ありがとうございます。
そのやり方で少し，自分で計算してみますね！！

回答No.4

info22

#1です。
A#1のF(z)=0の7個の解を順にz1,z2,z3,z4,z5,z6,z7とすると
z1以外は
共役複素根になっています。
各々の解の絶対値を求めると
|z1|≒1.6977813
|z2|=|z3|≒0.78629914
|z4|=|z5|≒0.80074152
|z6|=|z7|≒1.7238282
で7個の解の全部が
|z|=2の円の内部にありことが分かります。

お礼

ありがとうございます。確かに共役複素数ですね。
参考になりました！！がんばります！

回答No.3

noname#101087

>F(z)=z^7 - 5z^4 + z^2 - 2 = 0
>の複素平面上における単位円|z|=2　の内部の解の個数を求めよ

いずれも既出の原理ですが.... 。

・F(z) の因数分解(Bairstow = 共役複素根ごとの Newton 逐次解法。実質的には #1 さんの解と同一です)
たまたま Bairstow の因数分解シート(Excel)があるので、試行してみました。
　F(z)=(z-1.69778)*(z^2+1.24483z+0.64119)*(z^2+1.62780z+2.97158)*(z^2-1.17485z+0.61827)
一次(二次)因数の定数項の絶対値(その平方根)が各零点の絶対値に相当。

・単位円|z|=1 での F(z) の偏角を調べる方法(Rouche ?)
F(z) に z = e^(iθ) を代入して、θを 0 から 2π までスキャンしたときの F(z) の増加分を A とする。
A を 2π で割ると整数になる。その整数値が単位円 |z|=1 の内部の解の個数。
既存ソフトが無く、お話だけです。

お礼

親切にありがとうございました。参考になりました。
自分でもいろいろ調べてみようと思います。

回答No.2

ringohatimitu

あるいはRoucheの定理から|z|=2の内部における解の個数はz^7-2=0の同じ領域における解の個数と等しいことが導かれるので7個の解が存在してることだけは言えます。どこにあるかについては全く言明してませんが。Roucheの定理については検索すれば出てくると思います。一言で言えば「ある単連結領域Dに対してD'(Dの閉方を含む任意の領域)で正則な関数f,gがありDの境界上で|f|<|g|ならばg=0のDにおける解の個数とg+f=0のDにおける解の個数は等しい」というものです。質問の場合F=-5z^4+z^2 G=z^7-2として両方の|z|=2上での絶対値を比べると|F|<|G|なので上の定理が使えます。

お礼

ありがとうございます。ルーシェの定理について調べてみます。