商写像の問題です

質問

商写像の問題です。

Z:整数全体の集合
複素平面C上の同値関係～を
z～z'⇔z-z'∈Z
商集合Y=C/～と
射影p:C→Yを考える。
Yに商位相を導入し、位相空間とみなす。

(1)C上の写像
f(z)=c(z+i) (c∈C,i:複素数)
に対し、写像g:Y→Yでp・f=g・pとなるものが存在するための係数cの条件を求めよ。

(2)(1)において写像gが存在するとき、gは連続であることを示せ。

pが連続かつ開写像といいたいのですが、どの条件からいえますか？
Yに商位相を導入するだけでpは連続かつ開写像なんですか？

(1)はfが連続となるための条件を求めると言い換えていいですよね？

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

(1)
c∈Z,(cが整数)がgの存在条件となる
c∈Zならば
p(z)=p(a),z-a∈Zのとき
f(z)-f(a)=c(z+i)-c(a+i)=c(z-a)∈Z,p(f(z))=p(f(a)) だから
g:Y→Y,g(p(z))=p(f(z))となるgが存在する
c∈Zでないならば
p(1)=p(0),1-0=1∈Z,f(1)-f(0)=c∈Zでない,p(f(1))≠p(f(0))だから
g:Y→Y,g(p(z))=p(f(z))が定義できないから
c∈Z　がgの存在条件となる

(2)
D={V⊂Y,p^{-1}(V)開⊂C}を(Yの位相)商位相という
商位相の定義よりV∈D→p^{-1}(V)開⊂Cだからpは連続

V開⊂C,a∈f^{-1}(V)→f(a)∈V
→∃ε>0(G={w∈C:|w-f(a)|<ε}⊂V)
0<∃δ<ε/max(1,|c|),z∈B={z∈C:|z-a|<δ}　
|z-a|<δ→|f(z)-f(a)|=|c(z-a)|≦|c|δ<ε
→f(z)∈G⊂V→z∈f^{-1}(V)→a∈B⊂f^{-1}(V)
→f^{-1}(V)開→fは連続
{(1)の条件がなくても　fは連続です。}

pとfは連続だから→p・fは連続

(1)からp・f=g・pとなるgが存在するから→g・pは連続

V開⊂C　とするとg・pは連続だから　
→p^{-1}(g^{-1}(V))開⊂C
商位相の定義より
→g^{-1}(V)∈D
→gは連続
(pが開写像である必要はありません)

回答No.1

koko_u_u

> pが連続かつ開写像といいたいのですが、どの条件からいえますか？

連続かつ開写像であることが、この問題とどのような関係にあるかを補足にどうぞ。

>(1)はfが連続となるための条件を求めると言い換えていいですよね？

なぜですか？理由を補足にどうぞ。