積分 絶対値つき

質問

a>0　のとき　f(a)＝∫（０、１）｜3x(x-a)｜dx
　　　　　　　　　　　↑定積分です
・f(a)を求めよ
・a>0　における　f(a)の最小値を求めよ。

この問題を解いています。

0<a<1　と　a≧1　に場合わけしてみたのですが、
計算をどうやるかがよくわかりません。
回答いただけるとありがたいです。
宜しくお願いいたします。

回答No.1

Noy · ベストアンサー

g(x)=3x(x-a)とおき、y=g(x)のグラフを書いて見ましょう。このような問題は、グラフを書かないことには始まりません。
グラフを書いてみて、何がわかりますか？y=g(x)とx軸の交点はどうですか？x=0は確定です。a>0より、x=aはx=0より必ず右側にあることがわかります。
今、積分区間は0から1なので、0<a<1とa≧1に場合分けして考える必要があります。
（質問者さんは、この場合わけは出来ていますね。ということは、あと一歩のところまで来ているのですよ！）
i)0<a<1のとき、
f(a)=∫[0, a] (-3x(x-a))dx+∫[a, 1] (3x(x-a))dx
ii)a≧1のとき、
f(a)=∫[0, 1] (-3x(x-a))dx
となりますよね。
これらの積分計算をして、aの式にします。
あとは、関数の最大・最小問題に変わります。
分からないところがあれば追加質問してください。

回答No.3

Noy

#1です。訂正＆補足です。
g(x)=｜3x(x-a)｜
に訂正です。すみません。このグラフは、描けますか？
描くにあたって、x≦0, 0＜x≦a, a＜xの三つの区間について考えなければなりません。（それぞれの区間で、g(x)の値はどうなるのか、ということです）

しかしこの程度の絶対値のグラフなら、y=3x(x-a)のグラフを描いて、x軸より下の部分を折り返して描く、という方法もできます。

回答No.2

postro

ｙ＝｜3x(x-a)｜　のグラフはどうなるか考えてみて。
ｙ＝3x(x-a)　のグラフのｘ軸から下の部分を折り返したグラフですよね？
それで０から１までのｘ軸に囲まれた面積を求めればよい。面積を求めるときは
0<a<1　と　a≧1　に場合わけする必要がありますね。