微積分

質問

「a>0、t>0に対して定積分　S(a,t)=∫(0→a^2) |√x-logt|dxを考える。
（１） aを固定した時,tの関数S(a,t)の最小値を求めよ。
（２）（１）において,S(a,t)を最小とするようなtの値をT0とするとき、極限値　lim(a→+0)T0-1/a を求めよ。」
について教えてください。

回答No.1

noname#161402 · ベストアンサー

(1)logtの平方根が積分区間の内側か外側かで分類し、内側なら積分区間を二つに分け、被積分関数の絶対値を外すことで積分を計算。あとは三次関数の最大最小問題に帰着。

(2)指数関数の微分係数が何かというのを使う。

補足

もう少し詳しく教えてくださいお願いします。

回答No.4

noname#161402

もう少し詳しく、とのことですがどのあたりがわからないでしょうか？分類のところ？

絶対値のついた関数の積分は計算しづらいので絶対値をはずすことを考えます。
√xとlogtとの大小関係がわかればいいわけです。
xは積分に使う変数で、tは積分をする上では定数扱いになりますね。
積分区間が[0,a^2]なので、xには0≦x≦a^2という制限がかかります。
つまり0≦√x≦aですね。

（イ）logt≦0のとき

　　常に√x-logt≧0だから絶対値をそのままはずせる。

（ロ）logt≧aのとき

　　常に√x-logt≦0だから絶対値の中身にマイナス１をかけてはずせる。

（ハ）0<logt<aのとき

　　積分区間を二つにわける。すなわち[0,logt]と[logt,a]です。
　　xが[0,logt]を動くとき√x-logt≦0だから絶対値の中身にマイナス１をかけてはずせる。
　　xが[logt,a]を動くとき√x-logt≧0だから絶対値をそのままはずせる。

以上のように分類すれば、積分の値を計算することができます。

とりあえずここまでは大丈夫？

お礼

解説していだたき有り難うございます。
質問が簡素的になってすみません。
分類の方法がわからなったので助かります。

回答No.3

noname#161402

＞２

訂正感謝！

回答No.2

alice_44

log t の平方根が → log t の平方が