定積分関数の最大最小(絶対値を含むものです)

質問

定積分関数の最大最小の問題ですが、まず最初がわからないのでそこを教えていただき、それから途中はもう一度自分で考えてみようと思います。

問題
f(a)=∫*(0→1){｜x*e^x-ax｜}dxの1≦a≦eにおける最大と最小を求めよ。

x*e^x-ax≧0のとき単純に絶対値をはずしてはいけない。なぜなら、*e^x-ax≧0⇔e^x≧a⇔x≧logaであり《logaが区間{0,1}に含まれるときはxが{0,loga}{loga,1}のときとで符号が異なる》からである。

《》が解りません。符号が異なるのは解らなくもないこともないですが、なんでこの区間になるかがわかりません。

どなたか教えて下さい。

回答No.1

noname#122968 · ベストアンサー

こんにちは。

∫(0-1)｜x*e^x-ax｜dx=∫(0-1)x｜e^x-a｜dx

となります。ここで絶対値を外します。

まず、e^x-a>0のとき、x>LOGa、となり、さらに1≦a≦eより,0≦LOGa≦1、となるので、LOGa≦x≦1、のときe^x-a>0となります。絶対値をそのまま外してください。

同様に、e^x-a<0のとき、x<LOGa、となり、よって0≦x≦LOGaのとき、e^x-a<0となります。絶対値を符号を変えて外してください。

参考になりましたでしょうか？

お礼

与えられた不等式にlogをとったのですね。ありがとうございました。

回答No.2

kkkk2222

1≦Ａ≦Ｅ
０≦logＡ≦１

Ｆ(Ａ)＝∫(0→1)｜Ｘ（Ｅ^Ｘ）ーＡＸ｜dx
　　＝∫(0→1)　Ｘ｜（Ｅ^Ｘ）ーＡ｜dx

Ｐ＝（Ｅ＾Ｘ）ーＡ
　＝（Ｅ＾Ｘ）ー（Ｅ＾（logＡ））

０≦Ｘ≦（logＡ）のとき、
Ｆ(Ａ)＝－∫(0→1)（Ｘ（Ｅ^Ｘ）ーＡＸ）dx

（logＡ）≦Ｘ≦１のとき、
Ｆ(Ａ)＝∫(0→1)（Ｘ（Ｅ^Ｘ）ーＡＸ）dx

＞＞loga、は区間{0,1}にあり、
＞＞区間{0,loga}と区間{loga,1}では事情が異なる。・・・（読み替え）
＞＞なんでこの区間になるか・・・。
（０≦logＡ≦１）の話か、それとも・・・。

最後まで、やってないけど、面倒そうですね。