積分について

質問

定積分　Ｓ(a)＝∫[1～2]|1/x-ax|dxの最小値を求めなさい。ただし、１/4<a<1とする。

色々考えたのですが、範囲がよく分かりません。だれか教えてください。お願いします。

回答No.1

noname#5007 · ベストアンサー

わたしも、色々考えたのですが、、、
ln(5/4)=ln1.25= 0.2231...が答えになりました。
途中で間違えたかもしれませんので、考え方を書いておきます。計算してみてください。

　|1/x-ax| は　x=1/√(a) のときに0になる。
|1/x-ax| = 1/x-ax (x < 1/√(a)のとき)
= ax-1/x (x >= 1/√(a)のとき)

　1　<　1/√(a)　<2 なので
1 から 1/√(a) と、1/√(a) から　2 までの二つの区間に分けて積分する。
前者では被積分関数は 1/x-ax だし、後者では
ax-1/x だ。
また、 1/x の不定積分は ln(x) 。（かな？）

　積分した結果は
　-ln(a)-1+5a/2-ln(2) となった。
　最小値は、上記を a で微分して
　a=2/5 のときになる。因みに　1/4<(a=2/5)<1 です。
　この　a の値から積分結果は　最小値が
　-ln(2/5)-1+1-ln(2) となる。
　最小値であることは絵を描けば自明だ。
　-ln(2/5)-1+1-ln(2) = ln(5/2)-ln(2) = ln(5/4)

因みに私は　30年ぶりにこんな計算をしてみました。

お礼

わざわざ計算してもらってありがとうございます。よく分かりました。本当にありがとうございました。

回答No.3

mirage70

すみません間違えておりました。
x=1のときy=1、x=2のときy=1/2より、
1/4<a<1においてy=1/xとy=axは1<=x<=2において、交点を持ちます。

お礼

なるほど、図を見ればよく分かります。範囲と交点の関係がよく分かりました。ありがとうございました。

回答No.2

mirage70

y=1/xのグラフと、y=axのグラフと言うことになります。
積分範囲は１～２ですので、
y=1/xでx=1の時y=1,x=2の時y=1/2、x=4の時y=1/4
よって、1>a>=1/2と1/2>a>1/4の２つに分けて計算すべきですね。