絶対値を含む積分

質問

0<p<1に対して、関してf(p)=∫[0～1]e^x*|x-p|dxとおくとき、
(1)f(p)を計算せよ。
(2)f(p)の最小値を持つことを示せ

という問題です。　教えてください！！！

回答No.1

tksmsysh · ベストアンサー

まず、|x-p|の正負について、場合分けを考えましょう。
(i) x≧pのとき、|x-p|≧0
(ii) x＜pのとき、|x-p|＜0
ですね。
xの範囲は、積分区間に等しい、すなわち0≦x≦1であるので…

(1)
f(p)=∫[0～1]e^x*|x-p|dx
=∫[0～p]e^x*(p-x)dx+∫[p～1]e^x(x-p)dx
=2e^p-(1+e)p-1 (積分計算はご自分で。部分積分で出来ます。)

(2)
f'(p)=2e^p-1-e
ここで、f'(p)=0とすると、
e^p=(1+e)/2　……(a)
⇔p=log{(1+e)/2} ((a)の両辺は正なので、自然対数をとった。)
eは自然対数の底なので、
2＜e＜3　……(b)
を満たす。よって、
log2＜1＜log3　……(c)
(b)より、
0＜log(3/2)＜log{(1+e)/2}＜log2　……(d)
(c)、(d)より、
0＜log{(1+e)/2}＜1
であることが示された。
f(p)の、0＜p＜1における増減表より、f(p)はp=log{(1+e)/2}で最小値を持つことが示された。　　(証明終了)