定積分の誤差の限界教えてください

質問

次の定積分
∫(0→1)f(x)dx，　f(x)=1/(1+x^2)
この定積分の近似値を、等分点ｘ0(=0),x1,x2・・・ｘ(ｎ)（=1）
によって
A=(f(x0)+f(x1)+...+f(x(n-1)))*(1/n)
B=(f(x1)+f(x2)+...+f(x(n)))*(1/n)
上記のように計算した場合A,Bが含む誤差の限界がどれくらいか知りたいのですが考え方がよくわからなくて困っています。
教えてくださいお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

積分の真値をＳとしますと、＃１さんの不等式から
　　Ａ－Ｂ＞Ｓ－Ｂ＝（Ｂの誤差)
ということになり、Ａ－Ｂが誤差の上限になっています。
　いま、Ａ－Ｂを計算しますと、途中のf(x1)からf(x(n-1)の項が消えて、
　　Ａ－Ｂ
　＝{f(x0)+f(x1)+...+f(x(n-1))}*(1/n)－{f(x1)+f(x2)+...+f(xn)}*(1/n)
　＝{f(x0)-f(xn}*(1/n)
　＝(1-1/2)/n　（∵f(x0)=f(0)=1, f(xn)=f(1)=1/2）
　＝1/(2n)
となり、これが誤差の上限になります。

　ところで、真値Ｓは、x=tanθなどと変数変換すればすぐに定積分できて、（ひょっとして、πを求める問題？）
　　Ｓ＝π/4＝0.78539816339744830961566084581988
　　（４Ｓ＝π＝3.1415926535897932384626433832795）
です。
　もし4倍してπ＝3.14に相当する桁まで正確に求めたいとするならば、
　　４×1/(2n)＜0.005
　∴ｎ＞400
となりますので、400より大きく等分点を作らなければならないでしょう。

お礼

丁寧な解説をしていただけてよく理解できましたありがとうございます。

回答No.1

Suue

この関数f(x)が（０＜ｘ＜１）において単調減少であることに注目しましょう。すると、０と１の間の実数α、βについて、

α＜β　⇔　ｆ(α) ＞ ｆ(β)　となります。このことから、

ｆ(ｋ/ｎ) ＞ ｆ((ｋ+1)/ｎ)　（ｋ＝0、1、2、…ｎ-1）

となります。よって
Ａ ＞ ∫(from 0 to 1)f(x)dx　＞　Ｂ　が導けるので、
Ａ－Ｂ　＞　∫(from 0 to 1)f(x)dx － Ｂ　＞　０
となります。

従って、この近似の誤差の限界は、「(Ａ－Ｂ)以下」と評価できます。これ以上小さい評価はできないでしょう。
しかし、この関数は接線の傾きが急なので、長方形で近似するよりシンプソンの公式を使う方が誤差が小さくなります。

お礼

回答していただいて感謝していますありがとうございました。

補足

大小関係はＢ＜正しい値＜Ａとなり、
誤差の限界をnを使って表すと
1,1/(2n),1/(n^2),1/(n^3),(1/2)^n の中で選ぶとしたら
1/(2n)が一番適切なのでしょうか？教えてください。
再度質問しますがよろしくお願いします。