整数環に関して Ｉk ∩Ｑ＝Ｚ

質問

ｋは数体、代数体kに属する代数的整数の全体をＩkで表す。Ｉkは整数環という。
（１）このときα∈kが　αに関する次のr次式を満たすとする。係数は順に１、ａの1番、---, aのr番
つまり{α＾ｒ＋ａ1*α＾（ｒ-1）+---+aのr番＝０}

このとき各係数　　（ａのｉ番）∈Ｉkならば、α∈Ｉk
（１） は理解できました。

（２） Ｉk ∩Ｑ＝Ｚ

（２）の証明について
Ｉk ∩ＱはすなわちＱに属する代数的数の全体である。（１）によりＺは整閉であるからＩk ∩Ｑ＝Ｚである。と本(岩波　河田　数論IIｐ１５５)に書いてあるのですが、Ｚは整閉というのがよくわかりません.説明願えませんか。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

まず、Ik∩Q⊂Zを示す。

αを代数的整数とします。

α∈Q∩Ikとします。
αは整数係数のモニックな整式f(x)=x^n+(a_1)x^(n-1)+・・・+a_(n-1)に対して、f(α)=0となります。
またαはα=s/t、
ただしsとtは互いに素でt≠0…※
と置くことが出来ます。
(s/t)^n+(a_1)(s/t)^(n-1)+・・・+a_(n-1)=0
両辺をt^n倍して
s^n+(a_1)s^(n-1)*t+・・・+a_(n-1)*t^n=0

|t|≧2と仮定する。・・・○

tの素因数pをとると
s^n+(a_1)s^(n-1)*t+・・・+a_(n-1)*t^n≡s^n≡0　(mod　p)
pは素数よりs≡0　(mod　p)となる
よってtとsが公約数pを持つことになり、※に反する。

よって○の仮定は誤りで|t|=1つまりt=±1

α=±sとなって、α∈Zとなる。

よってIk∩Q⊂Zが示された。

明らかにZ⊂Ik、Z⊂QだからZ⊂Ik∩Qとなるので、Z=Ik∩Qとなることが示された。

お礼

非常にわかりやすい説明で理解できました。
そういえば大学のときよくこれと類似な問題が本の体の問題にでていたような気がします。
とてもありがとうございました。