整除の基本定理

質問

整数全体の集合Zとして、任意のa,bがZに属する(a>0)に対して、b=qa+r, 0≦r<a　を満たす。
zに属するq,rがただ一組存在する。という定理の一意性の証明がわかりません。

b=qa+r=q'a+r'と2通りに表せたとする。辺辺引いて、(q-q')a=r-r'・・・(1)　
そこでqとq'が等しくないとすると、q>q'の場合　(q-q')>0だから(q-q')≧1で、
(q-q')a≧a>r-r'・・・(2) となる。(1)式に矛盾する。だからq=q'したがってr=r'

と証明にありますが、(2)でa>r-r'がなぜ成り立つのかわかりません。
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

0≦r<a
0≦r'<a
だから
0≦r'
↓両辺からr'を引くと
-r'≦0
↓両辺にrを加えると
r-r'≦r
↓r<aだから
r-r'≦r<a
↓
r-r'<a
↓左右を入れ替えると
a>r-r'