整域について

質問

整域に関してですが・・・・

二つの整域 ( R1, +1, *1 )、 ( R2, +2, *3 ) に対して、代数系 ( R, +, * ) を次のように定義する。

R = R1 * R2　(直積集合) 。任意の a1, b1 ∈ R1、a2, b2 ∈ R2 に対して、

加法 : ( a1, a2 ) + ( b1, b2) = ( a1 +1 b1, a2 +2 b2)
乗法 : ( a1, a2 ) * ( b1, b2) = ( a1 *1 b1, a2 *2 b2)

とする。このとき、R1 および R2 の零元を、それぞれ 01 および 02 で表すとき、R の零元を示せ。

という問題があるのですが、この零元は単に 01 * 02 とすればよいのでしょうか？

また、この代数系 ( R, +, * ) は整域にならないとあるのですが、それは整域が乗法に関して零因子を持たない、といった理由からなのでしょうか？

回答、よろしくお願い致します・・・・m(__)m

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

零元は、( 01, 02 ) ですね。
∀a1, a2, ( a1, a2 ) + ( x1, x2 ) = ( a1, a2 ) を解けば、
( x1, x2 ) = ( 01, 02 ) と求まります。

整域の定義は「零因子を持たない可換環」です。
a1 ≠ 01, b2　≠ 02 と置くと、
( a1, 02 ) * ( 01, b2 ) ＝ ( 01, 02 )
( a1, 02 ) ≠ ( 01, 02 )
( 01, b2 ) ≠ ( 01, 02 ) だから
左零因子 ( a1, 02 ), 右零因子 ( 01, b2 ) が存在し、
R は聖域ではありません。

お礼

なるほど、、よくわかりました！
零元に関しては R の演算 + を用いて示せばよかったのですね・・・・。

回答、ありがとうございます！