Qの部分環は体かPIDであることを示せ

質問

表題の通りです。
「Q(有理数体)の部分環は体かPIDであることを示せ」という問題です。

まず、Qの部分環が体ならばそれはQでなくてはならないので、以下QのQでない部分環Rを考えます。
次に、Rの中に絶対値が最小な元aがあればRはZ上aで生成されるPIDとなります。
ですが、Rの中に絶対値最小な元が無い場合の証明が分かりません。
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

回答No.3

31415926 · ベストアンサー

Ｒを質問に書いてある通りとし，ＩをＲの(0)でない
イデアルとして，Ｉが単項イデアルとなることを示します．
((0)が単項イデアルなのは明らか)

Ｉに入っている正の整数(普通のいみでの整数です)で最小のものを
aとします．このときaＲ⊆Ｉです．

一方，Ｉの任意の0でない元b/cをとります.
(b,cは互いに素な整数でb>0とします.)
するとまず，b=c(b/c)はＩに入る正の整数です．
b=aq+r (qは0以上の整数，rは0以上a未満の整数)と
割り算して考えるとrがIに入ることからr=0,よってb=aqとなります．

次にb,cは互いに素なのでbx+cy=1となる整数x,yが存在します．
このとき(b/c)x+y=1/cで左辺はＲの元なので右辺もそうです．
従ってb/c = (1/c)b = (1/c)qa ∈ Raとなります．
また0∈Raは明らかなので
Ｉ⊆Ra. よってＩ＝Ｒaとなり，Ｉが単項であることが言えます．

お礼

丁寧な回答をしていただき、ありがとうございます。
文句のつけようのない回答に感謝します。

回答No.2

koko_u_

スマン 1行目の
>a = 0 なら話はおわりだ。
は消しといておくれ。

回答No.1

koko_u_

R の中に絶対値最小の元 a ∈ R があるとしよう。a = 0 なら話はおわりだ。
a の代りに -a ∈ R を考えることで、0 < a とする。

a < 1 と仮定すると、a^2 ∈ R かつ a^2 < a となり a の最小性に反する。
よって a >= 1。

a は有理数なので、a = n + b, n ∈ Z (整数) 0 < b < 1 と表わせる。Z ⊆ R だから、b = a - n ∈ R となりやはり矛盾だ。

結局 R に最小な元は存在しない。

お礼

どうやら質問で血迷ったことを書いていたようですね。
回答ありがとうございました。