代数

質問

大分前にやった代数を復習しているのですが、
「E／Fを体の拡大とする。（Eは代数的閉体とする。）
　K⊂EをF上代数的な元全体とする。（KはFの代数的拡大）
　このとき、a∈EがK上代数的ならば、F上でも代数的であるか？」
ということなのですが、
aを零点に持つK係数多項式をどうにかしてF係数多項式に持っていくの
かとか考えたのですが、わからなくなってしまいました。
Kの元はF係数多項式の零点にはなるが、Fの元の積や和から作れるわけ
でもないしとか。
Eが代数的閉体であることを使うのかも分かりません。
詳しい方いらしたらよろしくお願いします。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

「 a が F 上代数的 ⇔ F(a)/F は有限次拡大」が言えればあとは簡単。

a の K 上の多項式 f(X) where f(a) = 0 の係数 b_i ∈ K の満たす F係数多項式 g_i(X) where g_i(b_i) = 0 から具体的に多項式を構成するアプローチもあるけど、結局同じことをやっていると思う。

お礼

K(a)/Kが有限次拡大なので代数的拡大で、したがって、K(a)/Fが代数的
拡大であることからわかりました。
有限次ということを忘れていました。

どうもありがとうございました。