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なぜこうなるのですか?(ガウス記号の式)

[(2)2k/3×4]=[(2)2k/3]+4 となるのはどうしてですか? なぜ、ガウス記号の外に出すと×4が+4になっているのかわかりません。 [(2)2k/3]=4N+1 が成り立つことのですが、このことも関係しているのでしょうか? おしえてください。 (2)2k/3 → 3分の 2の2k乗です。 どうやって表せばいいのかわからなかったので見にくくてすいません。

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  • shkwta
  • ベストアンサー率52% (966/1825)
回答No.5

たぶん、下のような証明で、ノートに写したときに4^kのkが抜けていたのでしょう。 n=1のとき [(2^(2n))/3] = 1 だから、4で割ると余りは1である。 n=kのとき、[(2^(2k))/3]を4で割ると余りが1であると仮定する。 n=k+1のとき、 [(2^(2(k+1)))/3] = [(2^(2k))/3×4] = [(2^(2k))/3 + 2^(2k)] = [(2^(2k))/3] + 2^2k = [(2^(2k))/3] + 4^k 4^kは4の倍数だから、[(2^(2(k+1)))/3] を4で割ると1余る。 以上で数学的帰納法が成立し、k≧1となる任意の整数kについて [(2^(2k))/3]を4で割ると余りが1である が証明された。

noname#9312
質問者

お礼

なるほど^^ これならわかります。 kが抜けていたのかもしれません。 奇数のほうの証明もあわせて全てkは付いてないのでよほどうっかりしていたのかそう思いこんで写していたのか・・(^^;) わかりやすい説明どうもありがとうございました!

その他の回答 (4)

  • leige
  • ベストアンサー率45% (11/24)
回答No.4

[(2^(2k))/3] =[(4^k)/3] =[(4^k)/3-1/3+1/3] =[(4^k-1)/3+1/3] =[(4-1)(4^(k-1)+4^(k-2)…+4+1)/3+1/3] =[(4^(k-1)+4^(k-2)…+4+1)+1/3] =4^(k-1)+4^(k-2)…+4+1 =4(4^(k-2)+4^(k-3)…+4+1)+1 Nを整数として4N+1の形になることがわかります。 また上の変形で(4^k)/3-1/3が整数であることがわかるので [(2^(2k))/3]=(4^k)/3-1/3 が成り立って、これより [(2^(2k))/3*4]=[(2^(2(k+1)))/3]=(4^(k+1))/3-1/3=4*(4^k/3)-1/3 4*[(2^(2k))/3*4]=4*(4^k/3)-4/3 となって [(2^(2k))/3*4]≠4*[(2^(2k))/3*4] をえることができます。

noname#9312
質問者

お礼

ありがとうございます。 4N+1の導き方、わかりやすいです(*'-'*)

  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.3

>[(2)2k/3×4]=[(2)2k/3]+4 [2^(2k)/3+4]=[2^(2k)/3]+4 であれば、成立しますね。 前後の流れが分からないので、断言はできませんが、 左辺は[2^(2k)/3+4]の間違い かもしれませんね。

noname#9312
質問者

お礼

ありがとうございます。 正確には[2^(2k+2)/3]=[2^(2k)/3]+4 なので、その間違いはないと思います。

noname#9312
質問者

補足

やっぱりこの証明の式のほうが間違っている気がしてきました・・。 ちなみに、 数列an=[2^n/3]を4で割ったときの余りを求めよ という問題です。 解答では別の導き方をしていて、そちらは理解できました。こちらは、先生の書いたのを書き写したものです。(昔のものなので、今その先生には確認できません。)

  • shkwta
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回答No.2

問題が違っているのかもしれません。一応考えてみました。 [(2^(2k))/3×4] = [(2^(2k))/3]+4   (ア) この式は、任意のkに対して成り立つ式ではありません。ある範囲のkについてだけ成り立ちます。したがって、なぜ(ア)が成り立つかという話ではなく、(ア)が成り立つようなkを求めよ、という問題だと思います。 簡単のため、T=(2^(2k))/3とおきます。すると(ア)は [4T]=[T]+4  (イ) T=[T]+a とおくと(0≦a<1)、(イ)は次のように変形されます。 [4a] = 4 - 3[T]  (ウ) 0≦a<1ですから、[T]=1のときだけ(ウ)が成立します。よって、 5/4≦T<3/2 kが整数という条件であれば、これを満たすのはk=1だけです。 また、kが実数なら (log_2(15/4))/2≦k<(log_2(9/2))/2 _2は底が2であることを示します。

noname#9312
質問者

お礼

ありがとうございます。 でもこの式は証明の途中の式で、左辺から右辺へ式を変換したものです。 「任意のkについて成り立つ式ではない」ということは、この証明が間違っているのでしょうか??

回答No.1

(2/3)^2kなのか,(2^2k)/3のどちらなのかわかりません. どっちですか? 例えば,aのb乗を表す時はa^bと書きます.

noname#9312
質問者

補足

(2^2k)/3のほうです。 ^を使うんですね。ありがとうございます。

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