ガウス記号について

質問

ガウス記号が入った式を展開できずに困っています。
ガウス記号をフーリエ級数などを使って表す方法はあるのでしょうか？
どなたかご存知の方、教えてください。

回答No.5

nyhc-bm · ベストアンサー

＃4 です。
次のように訂正します。

f(x)=x-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*x)　とおくと、

[x]
=2*|f((1/2)*sin(|π*x|))|*x+(1-2*|f((1/2)*sin(|π*x|))|)*f(x)
=2*|(1/2)*sin(|π*x|)-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*(1/2)*sin(|π*x|))|*x
+(1-2*|(1/2)*sin(|π*x|)-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*(1/2)*sin(|π*x|))|)*
(x-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*x)).

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もともとの問題は、自然数ｎの約数の個数を求めるというものですよね？
例えば次のような方法を使えばｎの約数の個数を求めることはできます。

(自然数 n の約数の個数)=Σ[k=1,n](1/2)*(1-(-1)^(2^(Π[j=1,n]|n-j*k|))).

お礼

＞(自然数 n の約数の個数)=Σ[k=1,n](1/2)*(1-(-1)^(2^(Π[j=1,n]|n-j*k|))).

ガウス記号を使わないでも出来たんですね。
回答ありがとうございました。

回答No.4

nyhc-bm

>ただ出来れば[x]=～～というような形が欲しいのですが、

[x]=2*|sin(|π*x|)-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*sin(|π*x|))|*x
+(1-2*|sin(|π*x|)-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*sin(|π*x|))|)*(x-(1/2)+(1/π)*Σ[k=1,∞](1/k)*sin(2*π*k*x)).

お礼

回答ありがとうございます！

思った以上に長い式なんですね。使いこなせるように頑張ります。

回答No.3

Tacosan

ん～....
なんとなくだけど, 「ガウス記号がどうたらこうたら」とかいう細かいレベルじゃなくって, もっと全体を出した方が回答が付きやすい気がします.
全体像がないので, 答える方も難しくなっちゃってるような....

お礼

回答ありがとうございます。

>全体像がないので, 答える方も難しくなっちゃってるような
すみません、
全体像はΣ[k=1,n]{ [n/k] - [(n-1)/k] }です。

ただ出来れば[x]=～～というような形が欲しいのですが、

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞具体的な式は、[n/k]-[(n-1)/k]で、kがnの約数のときに１を返す関数のつもりです。

　だとしたら、場合分けで記述されるのはいかがでしょうか。

　n＝mk+l（但し、ｍは整数、ｌは０≦ｌ＜ｋの整数）と置くと、
　　[n/k]＝[(mk+l)/k]＝[m+l/k]＝m
　　[(n-1)/k]＝[(mk+l-1)/k]＝[m+(l-1)/k]＝ m (1≦l＜kのとき、則ち、ｎがｋを約数に持たないとき）、m-1 (l＝0のとき、則ち、ｎがｋを約数に持つとき）
として、整数部と小数部に分けて、ガウス記号を外せます。
　あとは、まとめれば、
　　[n/k]－[(n-1)/k]＝０（ｎがｋを約数に持たないとき）、１（ｎがｋを約数に持つとき）
と書くことができます。

　求められていることは、このようなことでしょうか？

お礼

Mr_Hollandさん、たびたび回答ありがとうございます。

シグマ記号を使って自然数ｎの約数の個数を求めたいので、今回は場合分け出来ません(T_T)

できれば、英語版wikipediaのfloor functionに載っているフーリエ級数のように表現したいのですが、wikipediaの式はｘが非整数でないと成り立たないみたいです。

回答No.1

Mr_Holland

ここでいう「ガウス記号」とは、[]内の値を超えない最大の整数値を返す記号のことでしょうか？
　具体的な式が分からないので何ともいえませんが、[]内の式を整数部と小数部に分けることはできませんか？

お礼

回答ありがとうございます！
>ここでいう「ガウス記号」とは、[]内の値を超えない最大の整数値を返す記号のことでしょうか？
はい。

>具体的な式が分からないので何ともいえませんが、[]内の式を整数部と小数部に分けることはできませんか？
具体的な式は、[n/k]-[(n-1)/k]で、kがnの約数のときに１を返す関数のつもりです。
だから整数と少数を分けられないんです＞＜