ガウス記号

質問

[A]をガウス記号(Aを越えない最大の整数)とします．

A<[B]+1 (⇒) [A]≦B

はどのように証明したらよいでしょうか？
できれば式変形だけでやりたいのですが．

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

これは、式の変形というより背理法じゃないですかね？

[A]=p, [B]=q （p,qは整数）とおくと
定義から
p≦A＜p+1 ---(1)
q≦B＜q+1 ---(2)

(1)と 条件式A<[B]+1を比べてみる
[B]=q が整数であることに注意すると
少なくとも　p≦[B] でなければならないことが分かる。
∵[B]＜p とすると、条件式A<[B]+1成立はガウス記号の定義に矛盾します

お礼

どうもありがとうございました。A<[B]+1で、
[A]はAを越えない最大の整数なので[A]<[B]+1すなわち
[A]≦[B]でした。背理法で考えてもよいですよね。

回答No.3

hinebot

＃２です。
済みません。途中で終わってますね。

>少なくとも　p≦[B] でなければならないことが分かる。

よって、p=[A]≦[B](=q)≦B より [A]≦B
等号は、Bが整数で[A]と等しいとき、ですね。

回答No.1

noname#6715

[x]≦x<[x]+1である
ここでA<[B]+1だから
A<[A]+1≦[B]+1
[A]≦[B]<Bで証明終わり。

お礼

どうもありがとうございます。
定義から[A]+1≦[B]+1なんですね。やっと気づきました。