ガウス記号って？

質問

ガウス記号の所を現在勉強しているのですが
x,yを実数とするとき、
　[x]+[y]≦[x+y]≦[x]+[y]+1であることを示せ。
という問題なのですが
[x]+[y]≦x+y＜[x]+[y]+2まででとまってしまって
この先どうやって証明して良いかわかりません。
↑しかもこの途中経過はあってるか自信なしです。
助けてください。

　余談なんですが、そもそもガウス記号というのは
どうして必要になったんですか？昔授業でグラフを書いた記憶は
あるんですが、なんのために必要なのか、どうして生まれたのか
さっぱりです。実生活で使わないし(笑）
あわせてお願いします。

回答No.1

uyama33 · ベストアンサー

x=m+α　　　y=n+β
とします。
m, n は整数
α、βは　0以上　1未満の数
これで
α＋β　の大きさが
１より大きい場合と小さい場合にわけて
考えると良いのでは。。。

[x]=m, [y]=n, [x+y]=m+n+[α＋β]、　　

0<= α＋β　＜2
より、　[α＋β]＝０または１

これより、不等式が成り立つことはすぐ分かる。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
しかもわかりやすく本当に・・・
でもm,n,α,βとかに置き換えてやると
本当わかりやすいですね。
おかげさまで、理解してとくことができました
ありがとうございました。

回答No.4

good777

【ガウス記号とは「切り捨てマーク」】
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ガウス記号というのは簡単に言うと
「切り捨てマーク」です。
3.5とか3.2とか3.7にガウス記号をつけるとすべて、小数点以下をきりすてて3
になります。
（ただし、負の数では、-3.5などは-4となります。）

ｘとｙをたしてから切り捨てたものは
切り捨ててからたしたものと比べると
同じになる場合と1大きくなる場合がある。
ということです。

たとえば、3.2と3.3を切り捨ててからたすと3+3＝6
　　　　　たしてから切り捨てると　3.2+3.3＝6.6→6
となって同じになりますが、3.5と3.7を切り捨ててからたすと3+3＝6
　　　　　たしてから切り捨てると　3.5+3.7＝7.2→7
となって1大きくなります。
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

　　　　　　[ｘ]≦ｘ＜［ｘ］+1　
　　　　　　[ｙ]≦ｙ＜［ｙ］+1
　　　　　　　　　↓
［ｘ］+［ｙ］≦ｘ+ｙ＜　[ｘ]+［ｙ］+2
　　　　　　　　　↓
［ｘ］+［ｙ］≦［ｘ+ｙ］≦　[ｘ]+［ｙ］+1

ｘ+ｙは整数[ｘ]+［ｙ］+2　より小さいのですから、
ガウスの記号をかぶせると、つまり切り捨てると、
[ｘ]+［ｙ］+1　以下になります。
＜が≦に変わっていることに注意してください。

--------------------------------------------------------------------

【数直線】
　　　　　　　　　　　　　（ｘ+ｙの範囲）はここです。　ｘ+ｙを切り捨てると……
　　　　　　　┌────────────────────┐
───────●─────────┼──────────○─────────
　　　　　　　│　　　　　　　　　│　　　　　　　　　　│
　　　　[ｘ］+［ｙ］　　　　[ｘ]+［ｙ］+1　　　　　[ｘ]+［ｙ］+2

ｘ+ｙは　[ｘ］+［ｙ］以上、[ｘ］+［ｙ］+2　未満だから、切り捨てると……

　　　　　[ｘ］+［ｙ］か[ｘ］+［ｙ］+1　になるよ。

お礼

すごいです！ありがとうございます！
まさかここまで丁寧に解説していただけるとは・・・
しかも数直線つき！（感激）かなーりわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

mozniac

kony0さんの補足です。

>たとえば、xの1位未満を四捨五入、というのを式で書こうとすると、[x+0.5]でかけますよね？（少なくともxが正の場合は）
これよりは、「消費税1円未満は切り捨て！」の方がピンとくるかもしれません。
>少なくともxが正の場合は
って書いてあるのに、
>小数以下の和が繰り上がれば[x+y]=[x]+[y]+1、繰り上がらなければ[x+y]=[x]+[y]で
と書いてあると、x,yは「正の数じゃなきゃいけないの？」になってしまいます。uyama33さんのような置き方をした上での話しなら別ですが。

お礼

＞これよりは、「消費税1円未満は切り捨て！」の方がピンとくるかもしれません。
そうですね！たしかに実生活で使っているのでわかりますね！
ありがとうございました。

回答No.2

kony0

まず。。。
実生活で本当に使わないですか？・・・四捨五入。
たとえば、xの1位未満を四捨五入、というのを式で書こうとすると、[x+0.5]でかけますよね？（少なくともxが正の場合は）
まぁ、その他、数学や算術でいろんなことをするのに必要なんでしょうが、その辺はよくわかりません。いろんな例がありすぎると思われますので。(^^;)

証明のほうは、言葉でざっくり言うと、
x+yを計算したときに、小数以下の和が繰り上がれば[x+y]=[x]+[y]+1、繰り上がらなければ[x+y]=[x]+[y]で、必ずこのどちらかになる。
っていうのでOKでしょう。

もうちょっとまじめにやるなら、(x)を、(x)=x-[x]で定義すると、0<=(x)<1となる。これを用いて[x+y]を考えてみましょう。

お礼

なるほど～
四捨五入と考えると使いますね。
というか余分な小数点とかは
日常生活では割り勘のときとかにつかうかもです。
ありがとうございました。