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ガウス記号
ガウス記号を使って[X]と表現された数は、積分やシグマなどで使いにくくて困っています。[X]は、実数Ｘを超えない最大の整数であるという定義（条件）が、式に含まれてないので、使いにくいと思います。そこで、この条件を式に組み込んで、[X]＝？という式にできればと考えています。どなたか、わかる方お願いします。
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式で書ければいいんですね？ 目的が書かれてない(積分に使う、では曖昧すぎます。)ので、 そう解釈します。 f(x)=1 (1<=x<2) =0 (それ以外) と定義すると、 [x]=Σ[n=-∞,∞] nf(x-n) と書けます。 fはフーリエ変換を利用して以下のように書けます。 f(x)=i/(2π) ∫[∞,-∞] (exp(-ik)-1)exp(ik(x-1))/k dk 使いやすくなったとはとても思えませんが、目的しだいです。 やり方はたぶん他にもあるでしょう。
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なんかうまくいかないので、検索して下さい。 googleで、フーリエ級数展開 pdfで検索して 3番目に出てくるやつです。
URLがうまく飛ばないのでもう一度 これの一番上のPDFです。
参考URLの2番目のPDFによると、 xの小数部分=1/2 - Σ[n=1,∞] sin(2nπx) ですから、 [x]= x - 1/2 + Σ[n=1,∞] sin(2nπx)/(nπ) これはかなりエレガントですかね・・・
- UKY
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「[X]＝？という式」の「式」の意味が曖昧ですが、ガウスの記号を四則演算だけで表すという意味ならそれは不可能です。直感的にも明らかですよね? 実数という連続量の値を四則演算という連続性のある演算によって整数という非連続量の値に変換することはできません。
- nich
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あ、ちょっとミス。 ｋ≦X≦ｋ＋１ → ｋ≦X＜ｋ＋１ [X]≦Ｘ≦[X]＋１ → [X]≦Ｘ＜[X]＋１ Ｘ－１≦[X]≦Ｘ → Ｘ－１＜[X]≦Ｘ に訂正です。 No.2
- graduate_student
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積分やΣに[x]=?を代入して計算するのはダメです. たいがい巧くいきません. その時はガウスを性質を最大限に利用するのです. [x]は， x <= [x] < x+1 もしくは， x-1 < [x] <= x です. これを利用するのです. 例えば，「∫[x]dxを解け」とような問題の場合は， まず， x<=[x]<x+1 ⇔∫xdx <= ∫[x]dx < ∫(x+1)dx の形にします. その後，両辺の積分を実行して，中辺の∫[x]dxはハサミウチの原理を用いて解きます.
- nich
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例えば、[X]＝ｋとおくと、ｋ≦X≦ｋ＋１ですよね。あとはｋを消去すると、 [X]≦Ｘ≦[X]＋１ となります。 [X]をはさんでやると、 Ｘ－１≦[X]≦Ｘ となるので、 極限などの問題ではハサミウチができて、使いやすいと思います。 こうした式はガウス記号の定義に立ち返れば、覚える必要もありませんし、自分で導くこともできますよ。
お礼
即効の回答ありがとうございます。 "巧く"いかないところをなんとか [x] = ？の形で出そうとしてます。 何かヒントになるようなものがあればまた回答お願いします。また、それは、不可能であるなら教えてください。