ガウス記号の問題です。

質問

[2x]-[(1/2)x]=2を満たすxの値の範囲を求めなさい。

ガウス記号についてまだ理解が十分でないところもあるので、詳しく教えていただけるとありがたいです。
回答お願いしますm(__)m

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

[2x]-[x/2]=2の
答えのxの範囲は
y=2のグラフ(A#2の図の赤線)とy=[2x]-[x/2]のグラフ（A#2の図の階段状の緑線）が重なる
xの範囲になります。

>y=[2x]-[x/2]のグラフのところがよく分かりません。
>どうしてグラフがx=3/2、y=2の通るのか理解できません。

y=[2x]のグラフ（階段状の黒実線）とy=-[x/2]のグラフ（階段状の灰色破線）をグラフ的に加えたのがy=[2x]-[x/2]のグラフ(階段状の緑実線)になります。

グラフがおっしゃっている点(3/2,2)を通っていない（白○になっている）ので、通るといわれても「おっしゃること自体」が理解不可能です。
x=3/2,y=2のところでグラフは白抜き丸になっていますので、この点が通りません。
x=3/2のところではグラフは黒●になっているところはy=3のところです。
したがって答えのxの範囲　「1≦x＜3/2」とx=3/2は含まれていないだろ。

>よろしければ、そこのところを詳しく教えていただけないでしょうか？
詳しく教えるといってもグラフがそうなるとしか言いようがないですね。
ただガウス記号の関数のグラフに慣れていただくしかないですね。
参考URLをみて、グラフについてよく考え、慣れてください。
参考URL：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/gauss/gausssymbol.htm

グラフはxを連続的にxを変えていったときのyの値を点としてプロット
していったものなので、逆にxに具体的に値を入れてみれば分かるかと思います。
x=3/2=1.5のとき
　y=[2x]-[x/2]=[2*(3/2)]-[3/4]=[3]-[0.75]=3-0=3
なので　x=3/2のときはグラフが通る点(x,y)は(3/2,3)であって(3/2,2)ではないです。
xが3/2よりわずか小さいx=1.4でのグラフ上の点は
　y=[2*1.4]-[1.4/2]=[2.8]-[0.7]=2-0=2
となるので点(1.4,2)は図のグラフ（緑線と赤線の重なるところ）上にあるのでこのx
=1.4は答えのxの範囲に含まれます。
xが3/2以上の答えの範囲の外のx=1.6で調べてみるとは
　y=[2*1.6]-[1.6/2]=[3.2]-[0.8]=3-0=3
となりこのときの点(1.6,3)は直線y=3上にあって、直線y=2（図の赤線）上にはありません。したがってx=1.6は答えの範囲には含まれません。図の水色に塗りつぶした答えの区間
1≦x＜3/2(x=1を含みx=3/2は含まない)の任意のxのところで階段の1段のステップ緑線のグラフ(y=2,1≦x＜3/2)と赤線の直線y=2が重なって答えのxの範囲に含まれます。

A#2の解答を、今の段階であなたが現在理解できなくても、ガウス記号のグラフに慣れていないからだけですので、ちゃんと見る人がみれば分かるはずなのでA#2解答のようにグラフ的に解けば問題ありません。
今のあなたには理解困難かも知れないが、ただガウス記号の関数のグラフに慣れていない、扱った経験がないからだと思われるので参考URLのガウス記号のグラフにをよく見て慣れていただくのが理解の最短コースだと思います。
なおガウス記号の関数は次のURLの床関数(floor function)と同じものですので参考にしてください。
参考URL「http://ja.wikipedia.org/wiki/床関数と天井関数」
ガウス記号のグラフはフリーソフト「GRAPES」をでは[x]はint(x)で扱えますのでガウス記号を含む関数のグラフが簡単に描けます（A#2のグラフもこのプロットソフトを使って作成しました）。Googleで「GRAPES」で検索すればダウンロード先がすぐ見つかります。複雑なグラフを描くのに非常に便利なソフトです。

あとは、習熟不足を解決するためには、ガウス記号のグラフを使う問題、ガウス記号を含む方程式、不等式の問題をより多くこなして、慣れるようにして下さい。
グラフを描いて解けば、簡単に解けたり、見通せて理解しやすくなります。
例：
・y=x-[x]のグラフを描く。
・2[x-2]-2x+5=0(0≦x≦2)を解け。（答え、x=1/2,3/2）
・[x-1]-[2-x]=-xを解け。（答え、x=1）
など。「GRAPES」でint(X)関数を使ってグラフを描いて解いて見てください。
グラフを使わないで解く方法より、グラフを使う方法の方が簡単に解け、計算ミスをすることも防げます。ガウス記号の関数のグラフは慣れれば、「GRAPES」を使わなくても、本来、簡単に描けるものです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/床関数と天井関数

回答No.4

naniwacchi

#1です。

#2さんがきれいなグラフを描いてくださってますが、
もとの方程式を [2x]＝ [x/2]+ 2とでも変形して、
y＝ [2x]と y＝ [x/2]+ 2の共有点を探すとした方がグラフは描きやすいかと。
（#1の回答では、y＝ [2x]と y＝ [x/2]の差と言っていましたが）

ガウス記号同士の加減を、ツールを使わずにグラフを描くのは
結構混乱しやすく間違う可能性も高くなるような気がします。
（わたし自身、間違うような気がします ＾＾；）

回答No.2

info22_

ガウス記号を含んだ方程式は図を描くと分かりやすいですね。

図の黒線の階段のグラフ（階段のステップの左端が黒丸、右端が白丸）が
y=[2x]
灰色破線のグラフが
y=-[x/2]
のグラフになります。
緑線の階段のグラフが2つのグラフを加えた
y=[2x]-[x/2]
のグラフです。
このグラフが
y=2の赤線のグラフと重なる部分のxの範囲（緑線の区間）
1≦x＜3/2　…（答え）
が元のガウス記号を含む方程式の解xの範囲です。
（図の水色に塗りつぶした領域のxの範囲です。）

ここで、黒丸はその点が値をもつ。白丸（または中が黄色または水色の丸）はその点の値を持たないことを表します。

補足

図までつけてくださりありがとうございます。
しかし、少し不明な点があります。

y=[2x]-[x/2]のグラフのところがよく分かりません。
どうしてグラフがx=3/2、y=2の通るのか理解できません。
よろしければ、そこのところを詳しく教えていただけないでしょうか？

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
ガウス記号は、なかなかやっかいですよね。

【解法１】
いまの問題であれば、グラフで考えるというのも一つの方法だと思います。
y＝ [2x]と y＝ [x/2]のグラフから、「差が 2」となっている区間を探します。

【解法２】
もうひとつは、純粋に計算から求めていくのですが、
ガウス記号の基本的な不等式を抑えておく必要があります。
それは、次の不等式です。
a≦ [a]＜ a+ 1

視覚的に数直線上で考えると、
「[a]は aの整数部分を表しているので、aから高々 a+ 1までの間の数になる。
（[a]は幅が 1の区間内にある）」
ということになります。

上の不等式を少し変形すると、
a-1＜ [a]≦ a

という式を得ることができます。
これを問題に現れている 2xと x/2に当てはめてみると
(1式) ：2x- 1＜ [2x]≦ 2x
(2式) ：x/2- 1＜ [x/2]≦ x/2

という式が得られます。
差が取り得る値の範囲を求めると、
(2x-1)- x/2＜ [2x]- [x/2]＜ 2x- (x/2-1)

あとは、真ん中の部分が題意より 2となるので、xの不等式として解くことができます。
が、これで終わりではありません。
ここまでは、ある程度範囲を絞り込んだというところです。

求めた xに対して、[2x]と [x/2]がどのような値となるかを考えます。
きちんと上の不等式が解ければ、[x/2]＝ 0となることがわかります。
よって、[2x]＝ 2となる範囲が答えとして得られます。

ガウス記号の扱いとしては不等式に置き換えていきますが、
もともと与えられている式は整数問題になっているので、
その扱いの「切り替え」が必要となっています。
なかなかいい問題だと思いました。