数字の９はこれを割り切れるんですか？

質問

Ｘ１Ｘ２Ｘ３・・・Ｘｎ－（Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３＋・・・＋Ｘｎ）は必ず９でわきれることを証明したいんですが、いったいどうすればいいのでしょうか？教えて下さいよろしくお願いします。Ｘはエックスの意味です。

回答No.2

fuji1 · ベストアンサー

おっと、これは簡単。。

まず、式を簡略化して書きます。
#1 の方の設定で行きますと、x1=5, x2=3, n=2で

5 * 10 + 3 - (5 + 3) = 45 が 9 で割り切れることですね。

簡単な式にすると、(a,b,c は自然数)
10 * a + b - ( a + b ) = 9 * c
のとき、

10 * a + b - a - b = 9 * c

9 * a = 9 * c

となります。

これが、n=2 のときですが、
n=1 の時も

10 * a - a = 9 * a
です。

n=1 で証明できて、n=n+1 で上のようになります。
マイナス前の数値から１つずつ引くので、n=3 なら係数はそれぞれ、
(100 - 1) * a + (10 - 1) * b + (1 - 1) * c
となっていきます。
括弧の中は 0 または 9 で割り切れますよね。
夜なんでこんな説明ですが、どうですか？
すべての係数が９の倍数なら９で割り切れます。

お礼

夜遅くにありがとうございました。
分かりやすく解法してもらって助かります。
失礼します

回答No.3

puni2

ああなるほど，そういう意味ですか。私も何か変な気がしたのですが，fuji1さんの回答をよんで初めて意味が分かりました。
問題の条件（というか式の書き表し方のルール）がきちんと書かれていなかったんですね。

○　Xi（i＝1～n）はいずれも1桁の自然数（または0も入っていいかな）。
○　X1X2X3…は，10進法で表した数字の各桁が左から順に，X1,X2,X3…であることを示す。

ぐらいは書いておいていただかないと。単にX1X2X3…ではただの積になってしまいます。

証明はfuji1さんの回答でばっちりですね。
10^n-1（nは自然数）が9の倍数であることは自明だと思いますが，もしそれも示せといわれたら，例えば数学的帰納法を使って，こんなかんじになるかな。

(1)　n=1のとき，10^1-1=9なので成立。
(2)　n=nのとき，10^n-1=9a（aは自然数）と表せたとする。
（高校の数学でしたら，n=kのとき…などと表したほうがいいかもしれません）
このとき，10^(n+1)-1=10^n×10-1=(9a+1)×10-1=90a+9=9(10a+1)=9の倍数
よってn=n+1でも成立。
以上より任意の自然数nに対して与式は成立。（終）
（なお，10^nは10のn乗の意味です。念のため）

回答No.1

Yas_Fuku

この命題は正しくないような気がしますが？

たとえば・・・Ｘ１＝５、Ｘ２＝３、ｎ＝２の場合、
Ｘ１Ｘ２－（Ｘ１＋Ｘ２）＝１５－８＝７

で、９で割り切れません。問題を確認してください。