積分 問題

質問

積分　問題

e^x≧1+xを使って、
（1）x1,・・・xn=1（xi≧0）ならばx1+・・・xn≧nを証明せよ。
（2）a1,・・・an＞0ならばn（√a1,・・・an）≦（a1+・・・+an）/n
どのように問題を解いて良いのか全くわかりません・・・

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

ｅ＾ｘ＞＝１＋ｘ　の対数をとって　ｘ＞＝ｌｏｇ（１＋ｘ）
この式にｘ＝（ｘ１－１）を代入すれば
ｘ１－１＞＝ｌｏｇｘ１
となります。

ｌｏｇｘ１＜＝ｘ１－１、ｌｏｇｘ２＜＝ｘ２－１、・・・、ｌｏｇｘｎ＜＝ｘｎー１
を辺々加えていくと
（ｘ１－１）＋（ｘ２－１）＋・・・＋（ｘｎー>１）＞＝式（１）
となります。

補足中の
＞私の考え方は、e^x≧1+xについて、両辺をn乗すると、e^nx≧(1+x)^nとなって、
　　⇒これは正しいです

＞両辺に自然対数をとると、log(e^nx)≧log(1+x)^nとなります。
　　⇒これも正しいと思います。

＞logeは1なので、1^nx=1　
　　⇒ｌｏｇｅ＝１であることを持ちださなくても１＾ｎｘですが間違いではありません。

＞1≧n・log(1+x)よって、n≦1/log(1+x)
　　⇒ここが変です。ｌｏｇ（ｅ＾ｎｘ）＝ｎｘ＊ｌｏｇｅ＝ｎｘ　であって、
　　　ｌｏｇ（ｅ＾ｎｘ）＝（ｌｏｇｅ）＾ｎｘ＝１＾ｎｘ　ではありません。

補足

ご回答ありがとうございます。
ご指摘の内容はおっしゃる通りですね。すいません。
回答で不明な点がありましたので、質問させて下さい。
>従って　ｌｏｇｘ１＜＝ｘ１－１　なので
>（ｘ１－１）＋（ｘ２－１）＋・・・＋（ｘｎー>１）＞＝式（１）＝０
>従って、ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎ＞＝ｎ
この部分が理解出来ません。
ｌｏｇｘ１＜＝ｘ１－１は、どのようにして導かれるのですか？
従って、ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎ＞＝ｎ
なぜ、こうなるのでしょうか？
また、(2)はどうでしょうか？
合わせてご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

Tacosan

あいかわらず n（√a1,・・・an） の意味を書いてくれないんだけど, #4 の回答中「x < 0 で困る」んですか?

ちなみに
「x1,・・・,xn=1 については、例えば0.9,0.99,0.999・・・のような数列を考えています。」
というのも以下の理由で全く意味不明.
1. (1) の前提は「x1,・・・xn=1」であって「x1,・・・,xn=1」じゃない. よ～く見れば違うことがわかる.
2. 「例えば0.9,0.99,0.999・・・のような数列を考えています」と書かれても「その数列がどのような条件を満たすのか」がわからない. 「例えば」というからには「他のもの」もなければおかしいが, その「他のもの」として何が適切なのかを判断できない.
3. 「x1, ..., xn = 1」
と書いたら「x1, ..., xn が全て 1」という意味. そして, もしそういう意味ならかっこの中の「xi≧0」は無駄だしなんでわざわざ e^x ≧ 1+x など使わにゃならんのか.

回答No.6

Tacosan

もういっちょ:
「x=x1-1とすると、xが負の値となり真数条件に反してしまいますが」
って書いてるけど, あなたのいう「真数条件」って何?

補足

ご回答ありがとうございます。
真数条件は、logXにおいて、0<Xだと認識しています。

回答No.5

Tacosan

(2) の答えを聞きたがっているようだけど, 少なくとも私には
n（√a1,・・・an）
の意味がわからん. #1 でもそうはっきり書いてるんだけど, なぜか無視してるね.

回答No.4

gohtraw

ｅ＾ｘ＞＝１＋ｘ　の両辺の対数をとると
ｌｏｇ（ｅ＾ｘ）＞＝ｌｏｇ（ｘ＋１）
左辺＝ｘｌｏｇ（ｅ）なので
ｘ＞＝ｌｏｇ（ｘ＋１）

このｘを（ｘ１－１）に書きかえると
ｘ１－１＞＝ｌｏｇ（ｘ１－１＋１）＝ｌｏｇ（ｘ１）

となります。単なる代入です。これをほかの項についてもしてやると

ｌｏｇｘ１＜＝ｘ１－１、ｌｏｇｘ２＜＝ｘ２－１、・・・、ｌｏｇｘｎ＜＝ｘｎー１　・・・（ａ）

であることが導けるので、これらの不等式の左辺は左辺同士、右辺は右辺同士、全て加えます。すると

左辺：ｌｏｇ（ｘ１）＋ｌｏｇ（ｘ２）＋・・・＋ｌｏｇ（ｎ）
右辺：ｘ１＋ｘ２＋・・・・＋ｘｎ－ｎ

となりますが、左辺は（ａ）において小さい物同士、右辺は大きいもの同士の和なので
左辺＜＝右辺
となります。また、左辺＝０ですから
０＜＝右辺
０＜＝ｘ１＋ｘ２＋・・・・＋ｘｎ－ｎ
ｎ＜＝ｘ１＋ｘ２＋・・・・＋ｘｎ
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
今更ですが、表題が積分となっていました。
すいませんでした。
補足の件ご回答頂ければ、ありがたいです。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解できました。
1点疑問点があります。x=x1-1とすると、xが負の値となり真数条件に反してしまいますが、絶対値を付けると解消出来ますでしょうか？
また、(2)は問題として成立しないのでしょうか？
(2)についても教えて頂けるとありがたいですm(_ _)m

回答No.2

gohtraw

推定込みで（１）を。
ｘ１＊ｘ２＊・・・＊ｘｎ＝１　なので、対数をとると
ｌｏｇ（ｘ１＊ｘ２＊・・・＊ｘｎ）＝ｌｏｇｘ１＋ｌｏｇｘ２＋・・・＋ｌｏｇｘｎ＝０　・・(1)　
また、ｅ＾ｘ＞＝１＋ｘ　より　ｘ＞＝ｌｏｇ（１＋ｘ）
従って　ｌｏｇｘ１＜＝ｘ１－１　なので
（ｘ１－１）＋（ｘ２－１）＋・・・＋（ｘｎー１）＞＝式（１）＝０
従って
ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎ＞＝ｎ

補足

ご回答ありがとうございます。
x1,・・・,xn=1
については、例えば0.9,0.99,0.999・・・のような数列を考えています。
>従って　ｌｏｇｘ１＜＝ｘ１－１　なので
どのようにして導いたのでしょうか？
>（ｘ１－１）＋（ｘ２－１）＋・・・＋（ｘｎー>１）＞＝式（１）＝０
>従って、ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎ＞＝ｎ
どのようにして導かれるのでしょうか？
私の考え方は、e^x≧1+xについて、両辺をn乗すると、e^nx≧(1+x)^nとなって、両辺に自然対数をとると、log(e^nx)≧log(1+x)^nとなります。
logeは1なので、1^nx=1
1≧n・log(1+x)よって、n≦1/log(1+x)
log(1+x)≧ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎをしめせれば、ｘ１＋ｘ２＋・・・＋ｘｎ≧ｎを示せると思うのですがどうでしょうか？

回答No.1

Tacosan

そもそも書いてある式の意味がわかりません.
x1,・・・xn=1 ってなんですか?
n（√a1,・・・an）は何を意味するのですか?