微積分の証明問題についての質問です。

質問

微積分の証明問題についての質問です。

xの2乗をx^{2}のように表しています。

f:R^{n} → R , p∈R とする。
fが微分可能のとき、次の(1),(2)が同値であることを示せ。

(1)任意のα＞0 と(x1,x2,…,xn)∈R^{n} に対して、
f(αx1,αx2,…,αxn) = α^{p}f(x1,x2,…,xn) …(※)

(2)任意の(x1,x2,…,xn)∈R^{n}に対して、
Σ[k=1,n]xk{∂f(x1,x2,…,xn)/∂xk} = pf(x1,x2,…,xn) …(♯)

ヒントとして、
・(1)⇒(2)
(※)の両辺をαで微分して、α=1とおく。

・(2)⇒(1)
F(x1,x2,…,xn,α) := α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn)
を考えて、
∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0
を示せ。

が与えられています。アドバイスお願いします。

回答No.1

uzumakipan · ベストアンサー

こんにちは。ｐ次の同次関数の問題ですね。
この問題を解くためには多変数の合成関数の偏微分の知識が必要です。
その式を使うだけの問題なので、分からなければそこから勉強してください。

(1)⇒(2)
(※)の両辺をαで微分して、α=1とおく。
これはヒントではなく答えです。その通りやれば（２）が出てきます。

(2)⇒(1)
F(x1,x2,…,xn,α) := α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn)
を考えて、
∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0
を示せ。

これもほとんど計算するだけです。α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn)をαについて微分し、(2)の条件を使うと

∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0

となります。αで微分すると０になるということはF(x1,x2,…,xn,α)はαを含まない式になる。

つまり、∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0より

F(x1,x2,…,xn,α)＝φ(x1,x2,…,xn)

と表せる。よって

α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn)＝φ(x1,x2,…,xn)

ここでα＝１とおくと

f(x1,x2,…,xn)＝φ(x1,x2,…,xn)

ゆえに

α^{-p}f(αx1,αx2,…,αxn)＝f(x1,x2,…,xn)

α^pを両辺にかけて(1)の式となる。

補足

回答ありがとうございます。
ただ、１箇所不安なところがあるんです。

∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0
の部分なのですが、

∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α
=-pα^{-p-1}f(αx1,αx2,…,αxn)+α^{-p}(Σ[k=1,n]xk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk)))
=α^{-p}(-α^{-1}(Σ[k=1,n]αxk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk)))+Σ[k=1,n]xk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk)))
=0

としたのですが、右辺の第一項で(♯)において(αx1,αx2,…,αxn)の場合を考えて、
pf(αx1,αx2,…,αxn) = Σ[k=1,n]αxk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk))
として代入したのですが、このように用いて大丈夫ですか？同値性が保たれているのか不安です。

頭が混乱していてよくわかりません。
もしかしたら、簡単なことなのかもしれませんが、アドバイスお願いします。

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。

>∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α = 0
>の部分なのですが、

>∂F(x1,x2,…,xn,α)/∂α
>=-pα^{-p-1}f(αx1,αx2,…,αxn)+α^{-p}(Σ[k=1,n]xk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk)))
>=α^{-p}(-α^{-1}(Σ[k=1,n]αxk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk)))+Σ[k=1,n]xk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk)))
>=0

>としたのですが、右辺の第一項で(♯)において(αx1,αx2,…,αxn)の場合を考えて、
>pf(αx1,αx2,…,αxn) = Σ[k=1,n]αxk(∂f(αx1,αx2,…,αxn)/∂(αxk))
>として代入したのですが、このように用いて大丈夫ですか？

大丈夫です。解き方として、これでOKだと思います。

お礼

ありがとうございました。助かりました。