以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。

質問

以下の不等式の証明を少し頭使いながらやってみました。
n,kを正の整数、x1,x2,・・・・,xnを正の実数とする。このとき
　x1^k＋x2^k＋・・・・＋xn^k≧((x1＋・・・＋xn)^k)/n^(k-1)　・・・・・(#)
が成立することを示せ。

(説明)普通は数学的帰納法で示す(模範回答で確認済み)が、ここでは少し見方を変えて示す。
まずk=1のとき
(#)の右辺,左辺ともにx1＋・・・・＋xnで等号成立する。
以降k≧2とする。　まずx1=・・・・・=xn=aのとき
(#)の右辺,左辺ともにna^kで等号成立する。
次に0<x1<x2≦x3≦・・・・・≦xnとする。
(#)の両辺に1/nをかけて
　　(x1^k＋x2^k＋・・・・＋xn^k)/n≧((x1＋・・・＋xn)/n)^k　・・・・・(##)
を示す。
ここでx1,・・・,xnの平均xa=(x1＋・・・＋xn)/nとし、区間[x1,xn]内で任意にx2,x3,・・・
・,x(n-1)を(x1,xnを先に定めて)プロットする。そして
f(x)=x^k (k≧2)について考える。またx1<xa≦xnである。
g(x)を(xa,f(xa))についての接線の方程式とすれば
f(xa)=(g(x1)＋g(x2)＋・・・・・＋g(xn))/n である。
さらにf(x)は区間[x1,xn]において下に凸だから
f(x1)>g(x1),f(x2)≧g(x2),・・・,f(xn)≧g(xn)　が成り立つ。
したがって
(f(x1)＋・・・・＋f(xn))/n ＞(g(x1)＋g(x2)＋・・・・・＋g(xn))/n=f(xa)
となる。
よってxa=(x1＋・・・＋xn)/n ,f(x)=x^k から
(##)が言えて、(#)が以上から成り立つことが言えた。

模範解答にもこの方法は載っておらず、独自で思いついて示しました。この証明方法でも良いですか？
ここのポイントはy=f(x)=x^kと(xa,f(xa))についての接線の方程式を考えればうまく応用できるというところです。問題は間違っていないかどうかですが自分でも面白く感動しました。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

証明の方針自体はＯＫです。
マルをもらえるかどうかですが、ちょっと厳密性が欠けている感はなきにしもあらずですが、
まあ、大学入試ならマルをもらえるのではないでしょうか。

＞ここのポイントはy=f(x)=x^kと(xa,f(xa))についての接線の方程式を考えればうまく応用できるというところです。
＞問題は間違っていないかどうかですが自分でも面白く感動しました。

この証明を自力で（凸関数についての前提知識なしに）思いついたのなら、なかなかのセンスですね。
実は、あなたの証明のやり方は、凸関数の性質（イェンゼンの不等式）という有名な不等式の証明そのものです。
googleやyahooで、
「凸関数」とか「イェンゼンの不等式」とか検索すると、いろいろなサイトが見つかるでしょう。

質問の不等式は、イェンゼンの不等式で、f(x)=x^k としたものです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F

お礼

ありがとうございます。これも実は数学検定1級の問題でまずは自力で解こうということで思考を働かせながらやってみました。イェンゼンの不等式を知らないで使ってみたので面白く実感した。
でも実際に乗ってあるということは実はよく使われているかもしれない。
まあ今後ともぜひ頑張ります。