整数の問題（高３）

質問

【問題】　（ｘ1）＾3　＋　（ｘ2）＾3　＋　・・・　＋（ｘｎ）＾3　が６で割り切れるとき、
　ｘ1　＋　ｘ2　＋　・・・　＋　ｘｎ　も６で割り切れることを証明せよ。但しｘｋは自然数。　（ｘ1は　ｘかける１　じゃなくて　えっくすわん　です）

　んで、解答はあるんだけど、自分で解こうと思ったときに「こんなんじゃ駄目かぃな」と思って考えてたんですけど、やっぱ駄目でした。もしこの考え方で解けるなら続きをお願いします。

　【自分的解法】ｆ（ｘｋ）＝（ｘ1）＾3　＋　・・・　＋（ｘｎ）＾3　とおくと

　ｆ’’（ｘｋ）＝６（ｘ1　＋　ｘ2　＋　・・・　＋　ｘｎ）　（以下不明）

　　全くの見当違いだと恥ずかしいんですが、このまま解けたらなんか問題集の解答に勝った気分になれるので・・・。

　　見当違いだったら　「全くの見当違いです。解答の通りときなさい」と一言お願いします。

回答No.1

noname#598 · ベストアンサー

単刀直入に、
Xkは全て定数ですから、微分したら０になると思いますがいかがでしょう？
２回微分を知っているのですから、
ｘ1～ｘnが自然数（不連続）ですから、微分可能ではないですよね？
また、百歩譲って微分できたとしても、
例えば、ｎ＝３のときは、元の関数（？）の、
ｘ1,ｘ2，ｘ3の間には関係式は存在しない（６の倍数ということだけ）
ですから、
ｙ＝ｓ^3＋ｔ^3＋ｕ^3
という関数を、なんだかわからないｘで微分するのって、
まずいですよね？

言い換えれば自然数の数列a1,a2,a3ということですから、
親玉（？）のｘという文字にだまされて微分してはいけないと思います。

具体的な証明は書きませんが、よろしいでしょうか？

お礼

あら、見当違いもいいとこですね。まだ微分も微妙にできてないもんで・・・

　　ま、解答通りに解いていきます。ありがとうございました。

回答No.5

nagata

すいません。回答はあるんですね。
うっかり読み飛ばしてしまいました。
ねむたい時間だったと言うことで許してください。

回答No.4

nagata

すいません。訂正です。
1番目のΣは(1≦i≦n)
2番目のΣは(1≦i＜j≦n)
3番目のΣは(1≦i＜j＜k≦n)
です。

回答No.3

nagata

Σ(xi)^3
=(Σxi)^3-3Σxixj(xi+xj)-6Σxixjxk
と式変形できます。ただし
1番目のΣは(1≦i≦n)
2番目のΣは(1≦i≦j≦n)
3番目のΣは(1≦i≦j≦k≦n)

2番目のΣの中の式xixj(xi+xj)はxi,xjにかかわらず常に偶数です。
これはxi,xjの偶奇で場合分けすれば簡単に出ます。
よってΣ(xi)^3が6の倍数ならば(Σxi)^3も6の倍数になります。
即ち、Σxiも6の倍数となります。

これは対称式と呼ばれる類の問題ではないかと思います。

回答No.2

noname#598

あまりにきつかったのでフォロー入れます。

教科書どおりでない解きかたを考えるという作業そのものは、
非常に大事なことなので、
そういう姿勢は大切にしてください。

お礼

あっ、生まれついてアマノジャクなもので・・・。特に数学は色んな解き方考えてしまいます。　見当はずれはしばしばですが、たまに自己流で解けると、また数学が面白くなります。
　どうもありがとうございました。