数学の問題がどうしても解けません。。。

質問

数学の問題がどうしても解けません。。。
どなたか教えてください

１、 f"(x)が常に正なるところでは

　1/n{f(x1)+f(x2)+f(x3)+・・・+f(xn)}?f(x1+x2+x3+・・・+xn/n)

なることを証明せよ。ただし、符号は x1=x2=x3=・・・=xn のときに限る。

２、　定積分の値を求めよ

∫[0~2π] 1/a+cosx dx (a>1)

回答No.1

OKXavier

ヒントです。

（１）
「f"(x)が常に正」では、f(x)は下に凸の関数ですから、
{f(x1)+f(x2)}/2≧f((x1+x2)/2)
が成立します。

（２）
複素積分で求めます。
Cを閉曲線|z|=1とし、
cosx=(z+z^(-1))/2
∫[0→2π]dx/(a+cosx)=∫_c　{1/{a+((z+z^(-1))/2)}(dz/iz)
で計算する。

１つの特異点がCの内部にあることに注意し、
計算には留数定理を利用する。

因みに答えは、2π/(√(a^2-1))