既約表現の問題

質問

有限群の3次元表現の具体例を挙げ、それが実際に既約表現であることを示せ。

教授が難しくてわからないだろうけど考えてみなさい。といわれたのですが見事にわかりませんでした。
誰か分かる方いらっしゃるでしょうか？教えてください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

３次元空間でx, y, z軸方向の単位ベクトルをe1, e2, e3とし、4点(0,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (0,1,1) を頂点とする正四面体を考えます。この正四面体をそれ自身に重ね会わせる変換群をTとすると、T は恒等変換e と正四面体の頂点と重心を結ぶ４本の軸の周りの角2π/3の回転(これらをそれぞれD(1),D(2),D(3),D(4)とする)および角4π/3の回転、四面体の相対する2辺の中点を結ぶ３本の軸の周りの角πの回転(これらをそれぞれD(α),D(β),D(γ)とする)の合計12個の元からなります。e1, e2, e3の変換を考えると、これらはTの変換の下で
　D(e)= ┌1 0 0┐
　　 　 │0 1 0│
　　 　 └0 0 1┘
　D(1)= ┌0 0 1┐
　　 　 │1 0 0│
　　　 └0 1 0┘
　D(2)= ┌0 0 1┐
　　　 │-1 0 0│
　　　 └0 -1 0┘
　D(3)= ┌0 0 -1┐
　　 　 │1 0 0│
　　 　└0 -1 0┘
　D(4)= ┌0 0 -1┐
　　　 │-1 0 0│
　　　 └0 1 0┘
　D(α)= ┌1 0 0┐
　　　 │0 -1 0│
　　 　 └0 0 -1┘
　D(β)= ┌-1 0 0┐
　　 　│0 1 0│
　　 　└0 0 -1┘
　D(γ)= ┌-1 0 0┐
　　 　 │0 -1 0│
　　 　 └0 0 1┘
およびD(1),D(2),D(3),D(4)の逆行列に従って変換されることが分かるので、e1,e2,e3で張られる空間を表現空間とする正四面体群Tの３次元表現が得られます。この表現が既約であることは不変部分空間が０と全空間しかないことから明らかです。一般論は群の表現論の参考書は多数ありますので参照して下さい。例えば
　平井武「線形代数と群の表現I」朝倉書店(2001)