既約分解について（）

質問

『アフィン変換全体をなす群と同型な ax+b群
Ｇ = { (a b/0 1) ; a,b∈K }
について、その２次元の恒等表現（gにgを対応させる表現）を考える。
これは可約であるが、２つの表現の直和分解できない。』

という文章について、

可約である、というのはGが恒等変換によって明らかに不変部分空間を持つ、ということでいいのでしょうが

２つの表現の直和に分解できない、というのが証明できません。というか、イメージを持つこともできません。
そもそも、Ｇが行列の積演算によって群をなしている以上、これを部分空間の直和に分解できないのではないでしょうか？

それとも、そういうことをいっているのでしょうか…。アドバイスお願いします。

数学の独学は厳しいです…先代の数学者、尊敬いたします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

遅くなりましたm(__)m

>ρ(g)=(a b/0 1)によって不変な部分空間{λ(1 0)}{λ(b a-1)}について
『表現』の不変部分空間の定義は分かってます？
貴方がここで言っているのは、表現ρの不変部分空間ではなく、行列ρ(g)の不変部分空間にしか見えませんが。

>このそれぞれと直交する部分空間{λ(0 1)}{λ(1-a b)}は不変に保たれないので、この表現は直和に分解できない。
"直交補空間"が不変でない事と、直和に分解できない事の関係は？
そもそも、表現空間に内積が定義されている事は仮定していないので、普通は
直交(内積がゼロ)という概念を定義する事すらできませんよ。

お礼

さじをなげたあともどってきました。

(x,y)にρ(g)を作用させると第二成分は不変である（可約性）が第一成分は不変でない（直和にならない）ということですね。

回答No.2

eatern27

特に表現に関しては定義って言うか、イメージの説明みたいに見えますが。

ベクトル空間Vと群Gがあって
ρ：G→GL(V)
が(群としての)準同型写像である時、ρを(Gの)表現、Vを(ρの)表現空間と言います。
※GL(V)はVの線形変換の全体です。

この定義をふまえて表現空間が何なのか考えてみては。ヒントとしては
・ρ(g)自体はV(表現空間)の元ではなくてV上の線形変換
・表現空間はVであって、Gではない

もとのご質問の可約と直和分解に関する事しては
可約な表現が２つの表現の直和に分解できるためには、
(非自明な)不変部分空間の「残り」も不変部分空間でなりません。
「残り」をきちんと定義していませんが、「可約」だからと言って「直和に分解できる」とは限らない事はイメージできると思います。

補足

ん、ん。

ρ(g)=(a b/0 1)によって不変な部分空間{λ(1 0)}{λ(b a-1)}について、このそれぞれと直交する部分空間{λ(0 1)}{λ(1-a b)}は不変に保たれないので、この表現は直和に分解できない。

こんな感じでしょうか。

回答No.1

eatern27

表現の定義
(表現が)可約であることの定義
(表現の)直和分解の定義

この辺りはきちんと説明できますか？
何となく、そこを理解できていないように見えますが。

補足

おっしゃる通り、漠然とした理解にとどまっています。（;^^）

表現　　…ある操作からなる群の元を線形写像や行列に対応づけること

可約性　…表現空間に自明でない不変部分空間が存在する

直和分解…表現空間が不変部分空間の直和で表せたときの、それぞれに対する作用に表現を分解すること

あらためて、この問題の表現空間とはなんでしょうか？
Ｇそのものだと思い質問したのですが。