Schurの補題１

質問

「群Gの2つの既約表現をD(1),D(2)としそれぞれが作用する
ベクトル空間をV1(n次元）、V2(m次元）とする。V1上のベクトルを
V2上のベクトルに写すnxm行列Mが
MD(1)(g)=D(2)(g)M
を満たすならばMはV1からV2への同型写像であるか、M=0である。」
という Schurの補題１について教えてください。
(i)「群Gの2つの既約表現をD(1),D(2)」とはGの表現D(g)がD(1)と
D(2)が直和であるという意味であって、D(g)の２つの同値表現と
いう意味ではないですよね。（確認）
(ii)「V1の部分空間W上の∀ベクトルwに対してD(1)(g) w∈W
かつD(1)が既約であるならWはV1または0である。」
ことが証明に用いられていると思いますが、これは
自明のことですか？
(iii) 「Mの核W={w∈V1|Mw=0}が空集合ならn=mでMは同型写像である。」
なぜですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

(i)D(1)とD(2)の直和であるという意味ではなく、群Gの別々の表現を考えます。

(ii)D(1)が既約であるということの定義です。

(iii) 0ベクトルは常に線形写像の核に属するので、核が空集合ということはありません。そこでこれを「Mの核W={w∈V1|Mw=0}が{0}ならn=mでMは同型写像である。」に修正します。まずkerM = {0} よりMが単射であることが分かります。次ぎに任意のy∈Im M に対して y=Mx とすると

　D(2)y = D(2)Mx = MD(1)x ∈ Im M

よりIm MはD(2)の不変部分空間です。よってD(2)は既約よりIm Mは{0}かV2。Im M={0}とすると(V1が0次元でない限り)kerM={0} とはならないので Im M = V2、すなわちMは全射。Mが全単射なのでn=mでMは同型写像

お礼

ご回答ありがとうございました。