Lorentz群の表現

質問

Lorentz群の生成子は２つの独立なSU(2)に書き換えることができるのでSU(2)の既約表現のラベルの組(a,b)(a,b=0,1/2,1,...)を指定すればLorentz群の表現を指定することができるということまで理解できました。そこで２つ質問があります。

この(a,b)で指定したLorentz群が既約表現であることはどのようにしてわかりますか？

また、(1/2,0)および(0,1/2)表現における場ψ_L、ψ_Rがブーストによって
ψ'=(cosh(Φ/2)±σ・n sinh(Φ/2))ψ
(Φはブーストのパラメータ、σはパウリ行列、nはブースト方向の単位ベクトル、－がL(?))
と変換するらしいのですが証明方法を教えて下さい。

どちらか一方だけでもいいのでわかる方お願いします。

回答No.1

eatern27

前半
Schurの補題を使ってください。
というか、これはSU(2)に限った話ではなく、(コンパクトな?)群であれば成り立つ話です。

後半
「ブーストのパラメータ」とかが貴方の文脈でどう定義されているのか知らないので、証明のしようがないですが、
無限小変換で(つまり、Φが無限小の時に)場がどう変換されるのかは分かるのでしょうか。