Green関数の謎

質問

波動方程式のグリーン関数のことで悩んでいます。同次方程式
　　□G(R,t)=0　…(1)
　G(R,0)=0,　∂G/∂t|(t=0) = δ(R)　…(2)
を満たすグリーン関数を求めると

　G(R,t)=δ(r-ct)/(4πcr)　…(3)

となります。一方、非同次方程式
　□G(R,t) = -δ(R)δ(t)　…(4)
の(t>0での)グリーン関数を求めてもよく知られているようにやはり(3)のようになります。同次方程式と非同次方程式のグリーン関数がなぜ同じになってしまうのでしょうか。(3)は方程式に代入してみると(4)ではなく、(2)を満たしていることが分かります。それなのに(4)の解として(3)をとることは正しいのでしょうか。

回答No.3

noname#9431

(3)を満たすもの->(4)を満たすもの
のまちがいです...すみません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　G(R,t)=δ(r-ct)/(4πcr)　
は原点まで含めて(1)を満たしているように思えます。

回答No.2

noname#9431

>(4)の解を求めたはずなのに(1)の解になってしまいます。

(t,R)!=(0,0,0,0) では(1)を満たさなくてはならないので、コンシステントでないでしょうか?

□を作用させた後、(t,R)=(0,0,0,0)を含む微小領域で積分すると1になることを示せばよいのではないでしょうか。そうすれば、それは(1)ではなく、(3)を満たすものであることが示されると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　□G(R,t)=0　…(1)
の解はどうなるのでしょうか。

回答No.1

noname#9431

G(R,t)=δ(r-ct)/(4πcr)　…(3)
は
G(R,0)=0
を満たしていないと思いますが、どうでしょう?

#ちなみに(3)のrはR?

補足

ご回答ありがとうございます。『(3)は方程式に代入してみると(4)ではなく、(2)を満たしている」は「(4)ではなく、(1)を満たしている」の誤りです。申し訳ございませんでした。また、Rは3次元べクトル、rはその大きさのつもりです。方向には依存しないので、
　∇^2 (δ(r-ct)/(4πcr))
　= (1/r^2)(∂/∂r)(r^2(∂/∂r)(δ(r-ct)/(4πcr))
　= δ''(r-ct)/(4πcr)

　(∂^2/∂t^2) (δ(r-ct)/(4πcr))
　= c^2δ''(r-ct)/(4πcr)
なので(4)の解を求めたはずなのに(1)の解になってしまいます。