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2階非同次微分方程式
物理学の講義でレポート課題を出されたのですが 学籍番号によって問題が異なるため 友達と解答を照らし合わせることができません。 一応、答えは出せたのですが いまいち納得がいかないので この場所を借りて質問させていただきます。 x = x(t) x'' + 2x' = 1 … ※ の一般解を求める問題です。 同次方程式の一般解は A,B を定数として x = A + B*exp(-2t) と出ました。 ※の特殊解の１つ x = ｔ/2 を見つけたので そこから※の一般解は x = A + B*exp(-2t) + t/2 と出せたのですが 上の2つ(同次方程式の一般解と非同次方程式の特殊解)は 解答としてあっているのでしょうか？ また、自分では解いたというより 無理やり見つけ出したという感覚なので ※の特殊解の導き方を教えていただきたいです。 解答よろしくお願いします。 (2日後に提出なので困り度を最高にさせていただきました。)
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x' + 2x = 1 が解けるなら, 連立微分方程式 y' + 2y = 1 y = x' も解けるはずですね.
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- alice_44
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非同次線型方程式の特殊解は「無理やり見つけ出す」 のが本来のあり方なので、計算で導きたいという考えは そもそも筋がよくない。 そんな便利な計算法は一般には存在しないので、 個々の方程式について「無理やりに」計算するしかない。 例えば、A No.1 に対する貴方自身のコメントのように。 あれは、正しい計算だが、あまり美しいとは思えない。 「式を見てたら、何だか x=t/2 を思いつきました。」のほうが、 むしろ「解っている」感があって、採点者も安心する。 それでも、どうしても、計算で出したいのなら、 方程式の両辺を微分した x'' についての一階同次微分方程式 を解いてから、解を二度積分して x を求め、 三個出てくる積分定数が、もとの方程式に合わせて (二階微分方程式)―(初期条件一個)＝(任意定数一個) に減るように、式から条件を探すのはどうか。 こちらも、あまり美しくはないが、貴方の「計算」よりは ギミック感がやや少ない。
お礼
回答ありがとうございます。 「無理やり見つけ出す」が本来のあり方なんですか！ ということは、たまたま閃いても そのまま書いて大丈夫なんですね。 ありがとうございます。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
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質問者が大学初年度の場合、 No.1とNo.4の組み合わせの解答の方が良いかもしれません。 そうでなければ、ダラダラ書かれている解答を見る教官の身になって考えれば、 演算子法でぱっと出す方がいいでしょう。 だって物理のレポートでしょ？ 数学はそこでは応用する立場なので。
お礼
回答ありがとうございます。 現在3回生です。 しかし、いま受けている物理の講義は ずっと登録してなかった科目でした。 数学科なのですが、この物理の講義は選択科目なんです。 物理の講義ではありますが 数学科に所属しているので 数学的に解きたいと思って質問させていただきました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
#5 の途中から (1/D)[1/(D+2)]1 = (1/D) [e^(-2t)∫1・e^(2t) dt] = ∫[e^(-2t)∫1・e^(2t) dt]dt とか, あるいはいっそラプラス変換とかもあったり.
お礼
ラプラス変換でも解けるんですね。 ラプラス変換は2回生で習うのですが 今回の物理学の講義は1回生向けの授業なので ラプラス変換は使わないことにします。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
第2項の符号間違えました。 正しくは-です。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
まあ、どんな方法でもいいんですが。 計算でスッキリ出したいですか？ 演算子法わかるなら演算子法で一発です。 (D^2+2D)x=1 x={1/(D^2+2D)}(1) x={1/D(D+2)}(1) x={1/2D-1/2(D+2)}(1) → x=t/2+(1/2)exp(-2t) 第2項は一般解に含められます。
お礼
回答ありがとうございます。 せっかくなのですが 演算子法というのは聞いたことがないので 別のやり方で解いてみたいと思います。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
No.2です。しっくり来なかったので、もう一度回答させていただきます。 積分すると x'+2x=t+C (C：定数) です。 ここからx=t/2を類推し、確かにそうなることを書けば十分だと思います。
お礼
回答ありがとうございます。 類推で正解をもらえるとしても 計算で求める方法はないのでしょうか？ よろしければ 再度、回答おねがいします。
- アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）
- ベストアンサー率21% (283/1290)
xの項がないので、両辺を積分して x'+2x=t 一般解に定数項を含むので、x'の特解の項は定数で構わない(2xの定数項に含めてしまう)。従って、 2x=tから特解が出る。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
x' + 2x = 1 は解けますか?
お礼
回答りがとうございます。 (dx/dt) + 2x = 1 dx/dt = -2(x-1/2) (1/x)(dx/dt) = -2 両辺を t で積分すると ∫(1/x)dx = -2∫dt log(x) = -2t ∴ x = exp(-2t) これで解けたように思います。
補足
誤字と間違いがありました。 回答ありがとうございます。 (dx/dt) + 2x = 1 dx/dt = -2(x-1/2) {1/(x-1/2)}(dx/dt) = -2 両辺を t で積分すると ∫{1/(x-1/2)}dx = -2∫dt log(x-1/2) + c_1 = -2t + c_2 x-1/2 = exp(-2t + c) (c = c_2 - c_1) x = K*exp(-2t) + 1/2 これでどうでしょうか？
お礼
なるほど！ x' を求めておいて 積分すればいいのですね。 ありがとうございます！！