偏微分方程式の解について。
現在、私は３変数（ｘ、ｙ、ｚ）２階の偏微分方程式を解いています。
その同次解を導いています。
まず、変数の一般解をΣX(r)*(cosmθ)、ΣＹ(r)*(cosmθ)、ΣＺ(r)*(cosmθ)と仮定し元の式に代入したのち、r=exp(s)と変数変換します。
そして同次解の形をＸ＝Ｘ'exp(λs),Y=Y'exp(λs),Z=Z'exp(λs)のように仮定し代入することによって、自明でない解をもつ次の特性方程式を得ました。
ｐ^3＋d*p+f=0
このときp=(λ^2-A)とします。 またＡとdとfは定数です。
ここから解を導くのですが
λ^2=p+A＞０のときは、
Ｘ＝F*exp(λｓ)＋S*exp(λs)
=F*r^λ＋S*r^(-λ)
このときのF,Sは勝手においた未知数です。
とまずおきました。
次にXを既知だと仮定し、ＹとＺの関係を求めるのですが、
関数型はＸと同様のために、Ｆ＝１として
同次解を仮定して代入した式で計算してＹとＺの関係を導きました。
（簡単な2次方程式を解く作業です）
同様にS=1としても行いました。
そこで以下の解を得ました。
Ｙ＝Ｇ(λ)*F*r^λ＋Ｇ(-λ)*S*r^(-λ)
Ｚ＝Ｈ(λ)*F*r^λ＋Ｈ(-λ)*S*r^(-λ)
Ｇ(λ)とＨ(λ)は2次方程式を解いて出した関係式です。
次がわからないところです。
λ^2=p+A＜０の場合、つまりλの根が複素数の場合です。
上と同様に係数を比較して求めるのですが、
X=F*cos(λｓ)+S*sin(λs)
と仮定するところまではわかりますが、
その仮定によって
Y={Re[G(j*λ)]cos(λs)-Im[G(j*λ)]sin(λs)}*F
+{Im[G(j*λ)]cos(λs)+Re[G(j*λ)]sin(λs)}*S
となるのがわかりません。Ｚについても式の形は同様です。
本当に困っています。
意味がわからない文章かもしれませんが、汲み取っていただけると幸いです。
ヒントでもいいのでください。
ちなみに 実部については Ｇ(j*λ)＝Ｇ(j*-λ)が成り立ち
虚数部については Ｇ(j*λ)＝-Ｇ(j*-λ)が成り立っております。
補足
級数展開せずに出来ます。 あまり意味のない回答に非感謝です。