法線とx軸との交点

質問

次のような問題で悩んでいます。
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X軸上の点P(α,0)に点Qを次のように対応させる。曲線 y=sinx 上のPと同じx座標を持つ点(α,sinα)におけるこの曲線の法線とx軸との交点をQとおく。次の各問に答えよ。
(1) 点Qの座標を求めよ。
(2) 点Pがx軸上を原点(0,0)から点(π,0)に向かって毎秒nの速さで移動するとき，点Qのt秒後の速さv(t)を求めよ。
(3) lim(t→1/2) v(t) / (t-1/2)^2
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　生物選択です；物理的なことはちょっと…努力しますが。
　数学に詳しい方，とりあえず(2)までの方針だけでもご指南を頂けると助かります。
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(1) 以下のところまでやってみたのですが…間違っていると思います。指摘して頂けると助かります。
法線の方程式は，y - f(α) = -1/f'(α) (x-α) とおける。
よって，交点は，f(α) -1/f'(α) (x-α) = 0
それぞれを代入すると，接線の方程式は，sinα - 1/cosα (x-α) = 0
これを解いて，x = sinαcosα + α
よって，(sinαcosα+α,0)

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> (1) x = sinαcosα + α
> よって，(sinαcosα+α,0)
合っているでしょう。

(2)
(1)の x = sinαcosα + α
の式で
α=ntとおいて
x(t)=sin(nt)cos(nt)+nt=(1/2)sin(2nt)+nt
v(t)=dx/dt=n cos(2nt)+n =n{1+cos(2nt)}

(3)
v(t) / (t-1/2)^2 = n{1+cos(2nt)} / (t-1/2)^2　…(A)
t→1/2のとき
1+cos(n)≠0なら　（A)は　定数/0型で　∞に発散

1+cos(n)＝0なら　n=(2k-1)π　（kは正整数）
ロピタルの定理を適用して
　lim[t→1/2](A)=lim[t→1/2] n{-n sin(2nt)}/(t-1/2)
=lim[t→1/2] -2(n^3)cos(2nt)/1
　=-2(n^3)cos(n)=2(n^3)

お礼

返信が遅れてしまってすみません。
わざわざ解いてもらってありがとうございました。
非常に助かりました^^; 類問が解けるように頑張ります。

回答No.1

rabbit_cat

(1)は合ってると思います。
ただ、
＞ 法線の方程式は，y - f(α) = -1/f'(α) (x-α) とおける。
というのを答案に書くと、f'(α) = 0 のときはどうなんだ、ていう話になって面倒なので、
法線の方程式は (x-α) + f'(α) { y - f(α) } = 0 とおける。
という形で書いておくほうがベターでしょう。