微分方程式 接線方程式

質問

曲線y=f(x)が任意の点Pでの接線が
x軸と交わる点をQ、y軸と交わる点をRとするときPがQRの中点である。
y=f(x)を満たす微分方程式を求める問題で

解答は
接線の方程式 y=y'(x-a)+b　　　　(1)
点Qのとき0=y'(x-a)+b　　　　　　　(2)
点PはQRの中点→a=x/2 b=y/2　(3)
(3)を(2)に代入して微分方程式を立てています。
なぜですか？
(1)を立式した時点で傾きy'と通過する点(3)がわかるので(1)に代入しませんか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(3)式はかなり幼稚な式ですね。もっとちゃんと指揮を立ててときましょう。

点P(p,f(p))における接線は

y-f(p)=f'(p)(x-p)

これより

x軸と交わる点Q(p-f(p)/f'(p),0)、y軸と交わる点R(0,f(p)-pF'(p))、

f'(p)≠0とする。

PがQRの中点であることから

2p=p-f(p)/f'(p)

2f(p)=f(p)-pf'(p)

これらはいずれも

f(p)=-pf'(p) (1)

を与える。

このまま、この微分方程式を解くことができるが

見慣れた形としては

y=f(p),x=p,f'(p)=dy/dx

を用いて(1)は

dy/dx=-y/x

変数分離して

dy/y=-dx/x

logy=-logx+C

xy=C'

Cは積分定数で境界条件から定める。

お礼

ありがとうございました