不等式の性質

質問

不等式の同値関係がわからないので、質問します。
座標平面上で原点Oから出る半直線の上に2点P,Qがあり、OP・OQ=2を満たしている。
問、点P,Qの座標をそれぞれ(x,y)、(X,Y)とするとき、x,yをX,Yであらわせ。

点P(x,y),点Q(X,Y)がともに原点からでる半直線上にあるから、xX≧0,yY≧0・・・(1)
OP・OQ=2を満たすとき、OP^2・OQ^2=4であるから
(x^2+y^2)(X^2+Y^2)=4・・・(2)
ここでわからなくなりました。x≠0のとき、X≠0　と解説には書いてあるのですが、
x=1,2,3・・・のときでも、X=0ならxX=0となり、xX≧0が成立すると思いました。

解説では、半直線OP,OQの傾きが等しいからy/x=Y/Xよって y=(Y/X)xこれを(2)に代入して、
xとXは同符号、x=0のときX=0、　yY≧0　などの条件に注意して、
x=2X/(X^2+Y^2),y=2Y/(X^2+Y^2)と答えを出しています。
どなたかxX≧0,yY≧0 ならば、x≠0のとき、X≠0となることを説明してください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

「xX≧0,yY≧0 ならば、x≠0のとき、X≠0」と言っているのではありません。
「x≠0のとき、X≠0」となる理由は(x,y)と(X,Y)が原点Oから出る半直線上の点の座標だからです。
もしX=0であればx=0になりますよね。

お礼

条件の解釈ちがいを正してくれて、ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

題意より、
　(OP*OQ)^2 = (x^2+y^2)(X^2+Y^2) = 2^2 = 4　　…(1)
かつ、
　y/x = Y/X = a　　…(2)
が成立。

(1) へ (2) を代入して、
　x^2(1+a^2)*X^2(1+a^2) = x^2*X^2(1+a^2)^2 = 4
　　　↓
　x^2 = 4/{ X*(1+a^2) }^2
　x = ±2/{ X*(1+a^2) }
を得るが、両辺の「正負」は一致するから、
(2 点 P, Q は原点から出る「半直線」の上にある)
　x = 2/{ X*(1+a^2) }

…といった調子。

お礼

解説ありがとうございます。