楕円：(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1

質問

楕円：(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1
において、接線とY軸の成す角θです。
このとき、楕円と接線の接点の座標が点P(p,q)の場合、a,bを用いずにqを表すことは不可能でしょうか？

回答No.2

noname#152421 · ベストアンサー

まず、

p^2=(a^4)/((a^2)+(b^2)(tanθ)^2)
q^2=(b^4)/((a^2)(cotθ)^2+(b^2))

となって（途中計算略）、pやqはθ、a、bで表されます。

qを表すのにpを使ってよければ、

a^2=p^2+pqtanθ
b^2=q^2+pqcotθ

を使ってaかbのどちらかを使わずに済ますこともできます。
しかし、aもbも使わないわけにはいきません。
理由は#1の通り。

・・・　・・・　・・・

少し興味をもったので、余分なことを考えてみました。
以下、ご参考までに。

与えられた楕円とは別の楕円（(X^2/a'^2)+(Y^2/b'^2)=1、a'≦a、b'≦b）を考えて、同じように接線、接点P'(p',q')、接線とY軸のなす角度θ'を考えます。ただし、接線とY軸の交点はどちらの楕円でも同じ点(0,r)で考えるものとします。

さらに、質問文にはないパラメータとして、接点の偏角（原点から接点に向かう線分とX軸とのなす角）φ、φ'をそれぞれの楕円の接点P、P'について考えます。

第1象限だけ考えることにして（0<θ<π/2、0<θ'<π/2)、

r=p/(tanθ)+q=p'/(tanθ')+q'
tanθ=(a^2)q/((b^2)*p)、tanθ'=(a'^2)q'/((b'^2)*p')
q=ptanφ、q'=p'tanφ'

となることから（途中計算略）、

p=(((a'^2)(cotθ')^2+(b'^2))^(1/2))/(tanφ+cotθ)
q=(((a'^2)(cotθ')^2+(b'^2))^(1/2))/(1+cotφcotθ)

となって、新しいパラメータを追加することにより、aやbやpを使わずにqを表すことができます。

2つ目の楕円として、特に半径Rの円を考えると、少し簡単になって、

p=R/((tanφ+cotθ)sinθ')
q=R/((1+cotφcotθ)sinθ')

となります。

おまけですが、

a^2=(R^2)/((1+cotφcotθ)^2(sinθ)^4)
b^2=((R^2)tanφcotθ)/((1+cotφcotθ)^2(sinθ)^4)

となります。

（確認したつもりですが、念のため途中の計算をチェックしてみてください）

1番目の楕円について不明なときに、観測点(0,r)からの接点の向きの他、中心が同じ既知の楕円（2番目の楕円）の情報と偏角の情報を使えば、1番目の楕円の情報を直接使わなくても接点が表せることになりました。

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
丁寧な御回答ありがとうございます！
やはり楕円はその性質上、a,bがないと難しいようですね。
今回の試みは失敗でしたが、数学（楕円）の勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞a,bを用いずにqを表すことは不可能でしょうか？
不可能だと思います。

もし aと bを用いずに表すことができたとすると、
どのような楕円であっても pと qの関係が同じということになってしまいます。
aと bはその楕円の「特徴」を表しているものであり、その接線もその「特徴」に従うものになります。

お礼

お礼が遅れて、大変申し訳ありませんでした。
分かりやすい回答をして下さり、ありがとうございました！
円の本や数学の本を何冊か読みましたが、楕円は奥が深いですね。
a,bはやはり「特徴」なので必要ですね。
ありがとうございました！