曲線上の点P（x,y）における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。

質問

曲線上の点P（x,y）における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。次の問に答え...

曲線上の点P（x,y）における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。
次の問に答えよ。ただし、Oは原点を表し、｜PQ｜、｜OQ｜はそれぞれ線分PQ、OQの長さを表す。

(1) Lがつねに定点(a,b)を通る曲線の方程式を求めよ。
(2) ｜PQ｜=｜OQ｜となる曲線の方程式を求めよ。

(1)は以下のように考えました。
P(x,y)における法線はy’(Y-y)+X-x=0で、点(a,b)を通るので
y’(b-y)+a-x=0
yy’-by’+ x-a=0
(y-b)dy＝-(x-a)dx
両辺を積分して
整理すると、(x-a)^2＋(y-b)^2＝a^2+b^2

(2)は方程式の立て方が分かりません。

アドバイスお願い致します。

回答No.1

MM_T

(1)は，積分した後，積分定数（右辺）は任意でいいはずです。強いて言うなら正の数でしょうか（Ｌが曲線上の点より）。

(2)は，まず直線Ｌの式を求めます。
　　Ｌ：(x-a)(Y-b)=(y-b)(X-a)
これは２点(x,y)(a,b)を通る直線の条件です。
点Ｑは直線Ｌとｘ軸の交点です。求められますね？
この交点Ｑの座標を(0,q)と表します（これは便宜上です。実際の解答はこうおかなくても構いません）。
　　|OQ|=|q|
です。
次に三平方の定理から
　　|PQ|^2=(x-q)^2+y^2
となります。よって（場合分けは面倒なので）
　　q^2=(x-q)^2+y^2
これを整理すれば，OKです。