１９９７年度九州大学プレテストより

質問

問題

　関数 y=xe^(-x) の曲線に３本の接線が引ける点のうち，x座標が正の点の存在する領域の面積を求めなさい。

に対して，答え（解説）は

x軸，y軸，曲線 y=xe^(-x) ，変曲点（今回の場合は(2,2e^(-2) )になります。）における接線で囲まれた部分の面積を求めればよい。

となっているのですが，なぜこうなるのかがわかりません。ご教示願えれば幸いです。よろしくお願い致します。

回答No.2

Rossana · ベストアンサー

>ううむ…書いたグラフで見たところ，回答いただいたような感じにはなってなかったような気が…。
もしかしたら，僕の言葉が適切でないために誤解が起こってしまったかもしれません．すいません．
下に凸という言い方がおかしかったと思います．
もう少し忠実に言い直してみます．

y'=(1-x)e^(-x)
y"=(x-2)e^(-x)
図形的に考察すると
曲線y=xe^(-x)のグラフはx=1のところで山になり（極大値をとり），変曲点(2,2e^(-2))から右では下に膨らんだ形でx軸に漸近していく形となっています．
この曲線外の任意の点(a,b) (a>0)に小人が立ってこの点から曲線y=xe^(-x)を眺めたとします．
すると，
☆『自分の方に曲線が膨らんでいればその位置に接線を引く事ができますが，凹んでいたら接線は引けません．』
というポイントに注目すれば，小人の位置から全方向にビームを出すと『x軸，y軸，曲線 y=xe^(-x) ，変曲点（今回の場合は(2,2e^(-2) )になります。）における接線で囲まれた部分』
では小人に向かって膨らんだ曲線の部分に３箇所接することができます．他の位置では小人の方に向かって膨らんでいるのは３箇所未満になってしまい，接線は３本未満になってしまいます．

最初に膨らみと凹みの変化する変曲点での接線を引いて膨らみと凹みの境界線を作っておいて，それぞれの領域に小人を置いてビームを発射すると言う感じでやればいいかもしれません．ちょっと分かりにくくてすいませんがこんな感じでf^^;

お礼

再びご説明いただきありがとうございました。時間のあるときに描いた曲線のグラフを使って試してみます。

回答No.1

Rossana

図形的に考察すると
曲線y=xe^(-x)のグラフはx=1のところで山になり，変曲点(2,2e^(-2))から右へ行くにつれて下に凸の形状になっています．
この曲線外の任意の点(a,b) (a>0)に小人が立ってこの点から曲線y=xe^(-x)を眺めたとします．
すると，『自分の方に曲線が凸の形で向かっていればその位置に接線を引く事ができますが，凹の形で向いていたら接線は引けません．』
というポイントに注目すれば，自分の方に向かって凸の形状が３箇所ある
『x軸，y軸，曲線 y=xe^(-x) ，変曲点（今回の場合は(2,2e^(-2) )になります。）における接線で囲まれた部分』
ということになります．他の位置では凸は３箇所未満になってしまい，接線は３本未満になってしまいます．
イメージ的にはその凸の部分からビームの波動がぼよよよんと発射されているというイメージをすると分かりやすいかもしれません．
言葉が分かり難いですが伝わったでしょうか．意図に添えなかったら申し訳ありません．

お礼

ううむ…書いたグラフで見たところ，回答いただいたような感じにはなってなかったような気が…。もっと正確なグラフを書けばこんな感じにあってくるのかもしれませんね。どうもありがとうございました。参考にさせていただきます。