中学数学の関数の問題の解説をお願いします。

質問

関数の問題について、解説をお願いします。

いつもすみません。
今度は関数の問題についてどなたか解説を教えてください。

右の図の（i）はy＝1/2x²、（ii）は原点Oを通る直線、（iii）は関数y＝－2x²のグラフである。
点Aは（ii）、（iii）の交点、点Bは（i）、（ii）の交点であり、x座標はそれぞれ1、－4である。
点Aとy軸について対称な点Cとして、ABを対角線とする平行四辺形ACBDを作るとき、次の問いに答えよ。

(1)y軸上に、y座標が正の数である点Pをとる。△ABPの面積が平行四辺形ACBDの面積の半分になるとき、点Pのy座標を求めよ。
答え：4

(2)(1)で求めた点Pを通る直線のうち、平行四辺形ACBDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
答え：y＝2/3x+4

※右の図とありますが、画像の図のことです。

すみませんが、よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

ANo.1です。　少し説明が足りなかったので、追加します。

＞EFを対角線とする平行四辺形を作ると、対角線で分けた右下の三角形と
EFを対角線とし、Eから引いた直線とFから引いた直線が、BD,ACと平行になるように
平行四辺形を作ります。対角線で分けると、面積が半分です。

＞ 底辺2，高さ{(aq＋4)＋2}の平行四辺形を足したものが、
高さ{(aq＋4)＋2}＝Fのｙ座標－Aのｙ座標＝(aq＋4)－(-2)　です。

＞平行四辺形ACBDの面積の半分。
上の２つの合計が、平行四辺形ACBDの面積の半分になるように決めれば、
求められます。

図を描いて確認してみてください。
（y＝1/2x²とy＝－2x²のグラフは描かなくてもできますし、そのほうが分かりやすいです。）

お礼

追加までしてくださってありがとうございます。
丁寧な回答で分かりやすかったです！

回答No.1

ferien

＞右の図の（i）はy＝1/2x2、（ii）は原点Oを通る直線、（iii）は関数y＝－2x2のグラフである。
＞点Aは（ii）、（iii）の交点、点Bは（i）、（ii）の交点であり、x座標はそれぞれ1、－4である。
＞点Aとy軸について対称な点Cとして、ABを対角線とする平行四辺形ACBDを作るとき、次の問いに答えよ。
Aの座標は、x＝1より、y＝-2・1^2＝-2　A(1,-2)
Bの座標は、x＝-4より、y＝(1/2)・(-4)^2＝8　B(-4,8)
CはAとy軸にてついて対称だから、C(-1,-2)
AC＝1-(-1)＝2だから、BD＝2で、Bのy座標と同じだから、D(-2,8)

＞1)y軸上に、y座標が正の数である点Pをとる。△ABPの面積が平行四辺形ACBDの面積の半分になるとき、
＞点Pのy座標を求めよ。
ABを底辺とすると、△ABDは平行四辺形ACBDの面積の半分だから、
△ABD＝△ABPとなるPを求めるには、ABと平行になるようにDを通る直線を引き、
y軸との交点をPとすればよい。

直線ABは原点を通るから、y＝ax　とおけるから、A(1,-2)を通ることより、代入して、
-2＝a・1より、傾きa＝-2
Dを通る直線はABに平行だから、ｙ＝-2ｘ＋bとおけるから、D(-2,8)を代入して、
8＝(-2)・(-2)＋bより、b＝4　y切片が点Pのy座標だから、
よって、
＞答え：4　……図を描いても求められます。

＞(2)(1)で求めた点Pを通る直線のうち、平行四辺形ACBDの面積を2等分する直線の式を求めよ。
求める直線はPを通るから、ｙ切片が４より、y＝ax＋4　……(*)　とおける。
図から、右上がりの直線であればいいから、a＞0とおける。

(*)と直線ADとの交点をE(p,ap＋4)，直線BCとの交点をF(q,aq＋4)とする。（p＞q）

直線ADの傾き＝(-2－8)/1－(-2)＝-10/3　Aを通るから、
ｙ＋2＝(-10/3)(x－1)より、直線AD：y＝(-10/3)x＋(4/3)
直線BC//ADだから、傾き＝-10/3で、Cを通るから、
y＋2＝8(10/3)(x＋1)より、直線BC：y＝(-10/3)x－(16/3)

点Eの座標は、
ap＋4＝(-10/3)p＋(4/3)より、{a＋(10/3)}p＝-8/3
ｘ座標p＝-8/(3a＋10)，ｙ座標ap＋4＝a{-8/(3a＋10)}＋4＝(4a＋40)/(3a＋10)
点Fの座標も同様にして、
ｘ座標q＝-28/(3a＋10)，ｙ座標aq＋4＝(-16a＋40)/(3a＋10）
a＞0だから、ap＋4＞aq＋4（p＞q）で、点Eが右上、点Fが左下

EFを対角線とする平行四辺形を作ると、対角線で分けた右下の三角形と
底辺2，高さ{(aq＋4)＋2}の平行四辺形を足したものが、平行四辺形ACBDの面積の半分。

平行四辺形ACBDの面積は、底辺＝2、高さ＝8－(-2)＝10だから、
その面積の半分は、(1/2)・2・10＝10

EFを対角線とする平行四辺形は、底辺＝2，
高さ＝ap＋4－(aq＋4)
＝{(4a＋40)/(3a＋10)}－{(-16a＋40)/(3a＋10)｝
＝20a/(3a＋10)
その面積の半分は、(1/2)・2・{20a/(3a＋10)}＝20a/(3a＋10)　……(1)

底辺2，高さ{(aq＋4)＋2}の平行四辺形の面積は、
高さ＝(aq＋4)＋2＝{(-16a＋40)/(3a＋10）}＋2
＝(-10a＋60)/(3a＋10)より、
面積＝2×{(-10a＋60)/(3a＋10)}＝(-20a＋120)/(3a＋10)　……（2）

(1)＋(2)＝10　とおけるから、
{20a/(3a＋10)}＋{(-20a＋120)/(3a＋10)}＝10　
120＝10・(3a＋10)　30a＝20
よって、a＝2/3　(*)に代入して、

＞答え：y＝2/3x+4

図を描いて確認してみてください。