数3

質問

座標平面上の曲線x^2-|x |y+y^2=1をCとする。
(1)曲線C上を動く点のy座標の最大値を求めよ
(2)曲線Cに囲まれた部分の面積を求めよ

答えは(1)が2√3/3 (2)が2√3π/3 らしいです

特に(2)において

面積/2= ∫(-1から2√3/2) {y+(4-3y^2)^1/2}dy
-∫(1から2√3/2) {y-(4-3y^2)^1/2}dy

となるところがよくわからないので解説お願いします

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
x^2-|x|y+y^2=1
は明らかにy軸に関して対称だからx≧0のところを考える。
x^2-yx+y^2-1=0
x=(1/2)(y+√(4-3y^2))またはx=(1/2)(y-√(4-3y^2))
ここでyが最大となるのは4-3y^2≧0だからy=2√3/3のとき。
(2)
図形(0,-1)-(2√3/3,√3/3)-(√3/3,2√3/3)-(0,2√3/3)-(0,1)-(0,-1)の面積は
∫(-1から2√3/3) {y+(4-3y^2)^(1/2)}dy
であり，図形(0,1)-(√3/3,2√3/3)-(0,√3/3)-(0,1)の面積は
∫(1から2√3/3) {y-(4-3y^2)^(1/2)}dy
であるから，面積/2はそこに示した式のようになる。

お礼

グラフまで作ってくださりありがとうございました！