極限について

質問

lim[x→∞]e^x/x=∞・・・（１）

というのは考えれば明らかです。しかし試験において記述問題などで解答するときにこれは証明しなければ使えないはずです。ただ普通これは増減表に付け加える一部であってこんなことを証明していては実際の設問を解く時間を大幅に削ってしまいます。そこで私の先生は、　logx<<x^α<<e^x（α>0）　というのが常に成り立つというのを導入して（１）を証明無しに使っていますがこれはいいのですか？多分大学の先生はこれくらい分かると計っての事だと思いますが、記述問題に変わりありませんし、今度はこの不等式を証明しなければ全く意味がないと私は感じたのですが...たいていこの極限を使わなければならない問題には、「（１）は証明無しに用いてよい」とついているのですが、ある大学の過去問でこの誘導がついていなかったのです。（解答は持っていません...）もう一人の先生に聞くと「（１）の後ろにただし書きとして（証明無しで用いる）と書けばいいよ」と言われたのですが、それでは余計論理的でないと思うんです。

これに限ったことではありませんが、大学の先生が採点するのにどのくらいを基準にしているのか分からないため記述ではよく不安になります。たとえ自分の先生が○をつけてくれても、最終的に採点するのは大学側ですから...

長くなってしまい申し訳ありませんが、アドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.2

ency · ベストアンサー

なにぶん大学受験なんて、10年以上前の話ですから、そのつもりで読んでください。

私自身の経験談から言わせてもらえば「小さな減点よりも大きな加点をめざすべき」ということで、「lim_(x→∞) e^x/x = ∞」は当然のように使っていた気がします。

そもそも高校レベルで証明できない数式については、注釈をつけなければいけなかったはず。
# 違いましたっけ？
# ＞ 詳しい方、いらっしゃったら補足お願いします。

注釈にあれば、どうどうと使えば良いですし、ない場合は問題作成者が知らないのか、つけ忘れたのか。。。
いずれにしろ、問題の中で余計な証明をする時間がないような場合は、無条件で使ってしまっても良いでしょう。

# 簡単に証明できるものであれば、証明してみるのも良いかも
# しれませんが、それが大きな加点につながるかどうかは、
# 定かではありません。

要するに、私の言いたいのは「問題の途中で、題意とあまり関係のない証明が必要になった場合は、残りの時間と相談して、その部分の証明のするしないを判断すべき」ということですね。
# たいてい時間が余ることはないので、「証明しない」と判断
# してしまうことの方が多いと思いますが。。。

そこで時間を取られて、せっかく最後まで解答できていたはずの問題が、途中で時間切れになってしまった、というのだけは避けたいですからね。

ま、そのあたりはバランスですね。

# そもそも、そんな証明をさせたいのであれば、別の設問に
# していると思います。
# (1) で証明させて、(2) でそれを使って解かせる、という
# よくあるパターンの問題です。

rockman9 さんの質問の意図にそっていないかもしれませんが、こんなんでどうでしょうか。。。

お礼

そもそも高校レベルで証明できない数式については、注釈をつけなければいけなかったはず。

についてですが、これは間違いないと思います。といいますか、僕が解いたこの問題が例外中の例外なのではないでしょうか？ただそれが運悪く自分の受ける大学だったのでこれは追究せざるをえませんでした。ですが、まったくおっしゃるとおりこの部分のせいで設問一つ零点になるわけではありませんし、小さな減点よりも大きな加点はごもっとも意見です。
とても参考になりました。ありがとうございます！

回答No.4

poor-student

旧帝大の数学科にいる者です。
大学入学後に、ロピタルの定理を入試で使ってもよいか先生に聞いたのですが、使っても構わないとおっしゃっていました。大学によって採点基準が違うこともあるかも知れませんが、この問題の場合は構わないと思います。ただ、少なくとも国立大学では、証明無しに用いてよい、と書かれていない場合にこの問題を証明してもボーナス点は無い気がします（あくまで私個人の感想ですが・・・）。採点されるかどうしても気になるのであれば、ロピタルの定理を使うのがよいと思います。

以下では高校数学範囲内での解答方針を書きます（高校数学は忘れたので、もしかしたら範囲越えているかもしれません）
（１）まず、数列として扱い、無限になることを見る
ヒント
（ルートe）＾（n）>n（増減表でわかる）より、e^n>n^2
よって、（(e^n)/n）>n
（２）元の関数は単調増加なので、数列の極限と一致

入試頑張って下さい

お礼

ロピタルの使用は非常に迷うところでした。自分の受ける大学の採点者が認めてくれるかはわかりませんから...（第一採点基準が明確でないことに問題があるように思えますが）先生もロピタルは高校の既習範囲で無いから使うと×になるという先生もいますし。正直色々な意見を聞きどれが正しいのか困っていました。
ボーナス点を期待していたわけではありませんが、考えてみればそのくらいの事で設問一つ零点になるわけありませんよね。考えすぎでもあったようです。
高校範囲内での解答方針参考になりました！ありがとうございます！

回答No.3

chicago911

数学として考えれば、質問者の考え方が正当です。極端に言えば、代数学では四則の公理、幾何学では五大公理 (日ユーグリッド系では四大公理) 以外は、すべて証明が必要です。しかし、それをやっていたのでは、実際のところ大変ですし、フェルマーの最終定理の証明のようなもので、ここから始めますと、記述が膨大になり、読む側も当たり前のこと (証明済みでこれを検証するレベルの能力を持った人たちの中では自明、として扱えるもの) を長々と書かれては堪りません。そこで、ある一定のところまでは、自明、で処理することになります。

入試の数学は、はっきり言って数学ではありません。証明問題をきちんと証明しよう (公理から説き起こして) とすれば、あの時間で解ける筈はありません。つまり、同じように、自明、を持ち込まざるを得ません。この自明が何処まで許容されるか、に質問は収束すると思います。正直わかりません。各大学、その大学の採点者によって変わり得ます。一つの目安は、入試要綱で要求されている水準 (近頃どういう区分になっているか知らないのですが、昔は)、数 IIB、数III で、定理なりになっているものが、一つの線かな、とは思います。

入試の採点と言うのは、受験者の数にもよりますが、一応の模範解答があり、これ通りなら問題ないのですが、枝分かれもします。こうなったらどう、と、いわば Manual　を決めて、機械的に採点するところ (必ずしも数学を数学の教官が採点するのではなく) もあれば、出題した教官が採点することもあります。後者であれば、かなりの考慮はされるかもしれませんが、前者では、たとえ数学的に正しくとも、零点になる可能性もあります。

正直言って、正解はない質問でしょう。個人的には、要求されるレベルの教科書中で証明されている範囲は自明として扱って、時間が許す限りは、その証明もつけておくしかないでしょう。もう何十年前になりますが、入試で面倒になり、ロピタルの定理の証明書いて極限値出したことありますよ。後で入学後数学の教官に聞いたら、再展示話題になったけれど証明が正しかったので点数くれたそうです。

今だに趣味で数学やっていますので、経験者にしておきますが、何せ相手あってのことなので自信なしにしておきます。

お礼

やはりこの質問に解答はありませんよね。ですが、自明の処理という考え方で少し楽になりました。おっしゃるとおり大学入試のようなわずかな時間の中で何題も解くのに、大問の中の設問の一つの中の部分にすぎないところに証明なんて書いてる暇ありませんしね。とても参考になりました！ありがとうございます！

回答No.1

First_Noel

後半だけ．

高校で習う範囲内での回答に限ります．
そうでなければ（採点者の勘違いでない限り）加点されません．

例えば極限値を求めるのに便利なロピタル（ロピュタル）の定理は，
高校では習わないので，もし使った形跡があれば加点されません．

或いは，高校では習いましたでしょうか，
「指数関数は全ての関数で最も速く発散する」
が自明とされていれば，これを使っても良いです．

お礼

加点されない→減点されるorその設問は満点になりえない。ということでしょうか？いずれにせよロピタルは証明無しで使うのは危険なようですね。ちなみに高校では「指数関数が最も早く発散する」は先生から習いましたが、教科書にも書いていませんし、証明も教わらなかったので、これも使えるのかどうか迷っていたところです。参考になりました。ありがとうございます！