極限 疑問

質問

極限　疑問

ちょっと気になったので質問させて頂きます。

（1）lim[x→∞]logx=∞
（2）lim[x→-∞]logx＝定義できない
（3）lim[x→∞]-logx=-∞
（4）lim[x→-∞]-logx=定義できない

（1）～（4）は正しいでしょうか？
グラフを書いてみて正しいと考えています。

（3）について，lim[x→∞]-logx=-∞は-lim[x→∞]logx=-∞と
-極限操作の前に出しても問題ないでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#125931 · ベストアンサー

(a)lim[x→∞]f(x)=∞であると仮定する。
すると、任意の実数tについてある実数yが存在して、x>yならf(x)>tである。
（これが仮定された発散の定義でもある。）
ここで、tを任意の実数とする。
上記のような性質の実数yが存在する。
このyについて、x>yなら-f(x)<-tである。
したがって、lim[x→∞](-f(x))=-∞である。

説明なしでlimと-を交換したら減点かどうかは私には分かりません。
教科書や採点者によると思います。

回答No.2

noname#125931

(3)で-を極限記号の前に出しても良いかとの質問に2つの観点からお答えします。
(a)それによって（∞と-∞への発散と実数への収束の場合は）形式上は正しく計算できます。
(b)通常の数学で定義されていない演算結果を前提しているので注意が必要です。

(a)は簡単なので既に理解されていると思います。
まだ理解されていない場合は自分で証明してみてください。
(b)の理由：
∞や-∞は実数ではなく、発散の仕方を表す記号です。
したがって実数の数学では-1×∞のような演算が定義されているわけではありません。
したがって-とlimの形式的な交換を用いた議論は、それが可能であることの証明（つまり(a)の証明）が付け加えられて初めて正当化されると思います。

補足

ご回答ありがとうございます。
(a)に関しては、どのように証明すれば良いのでしょうか？グラフ描いて求めたので・・・
(b)に関しては、無限大が数ではない事は理解しています。もちろん、数学的に-1×∞の様な演算が定義されていない事も認識しています。
limの外側にマイナスを出すとわかりやすかったので・・・
この様な問題が出題された場合、×されるのでしょうか？
私の力では、マイナスをlimの外に出しても問題ないことを証明出来ません。

回答No.1

htms42

ｌｏｇｘはｘ＞０でしか定義されていません。
（２）（４）はｘ＜０の範囲で極限を求めていますから意味を持たないのではないでしょうか。
「定義できない」という表現には「？」が付くように思いますが。

補足

ご回答ありがとうございます。
おっしゃる通りです。(2)と(4)は意味を持ちませんね。
(1)と(3)は正しいと言う認識で良いでしょうか？
また、(3)のマイナスを極限の外に出すという操作も問題無いでしょうか？

以上、よろしくお願い致します。